Đáp án:
GTNN `A=2<=>[(x=-1),(x=3):}`
GTLN `A=2\sqrt{2}<=>x=1.`
Giải thích các bước giải:
`A=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}(-1<=x<=3)`
`<=>A^2=x+1+3-x+2\sqrt{(x+1)(3-x)}`
`<=>A^2=4+2\sqrt{(x+1)(3-x)}`
Vì `\sqrt{(x+1)(3-x)}>=0`
`=>2\sqrt{(x+1)(3-x)}>=0`
`=>A^2>=4`
`=>A>=2`(do `A>0`)
Dấu "=" xảy ra khi `[(x+1=0),(3-x=0):}<=>[(x=-1),(x=3):}`
`A^2=4+2\sqrt{(x+1)(3-x)}`
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
`(x+1)+(3-x)>=2\sqrt{(x+1)(3-x)}`
`<=>4>=2\sqrt{(x+1)(3-x)}`
`<=>A^2<=4+4=8`
`<=>A<=2\sqrt{2}`(do `A>0`)
Dấu "=" xảy ra khi `x+1=3-x<=>2x=2<=>x=1.`
Vậy GTNN `A=2<=>[(x=-1),(x=3):}`
`\qquad \qquad ` GTLN `A=2\sqrt{2}<=>x=1.`
