Giải thích các bước giải:
$a+\frac{1}{b} ≤1 ⇔ ab+1 ≤b $
Theo bất đẳng thức $Cauchy$:
$⇒b≥ab+1≥2.\sqrt[]{ab} ⇔ \sqrt[]{b} ≥ 2.\sqrt[]{a} ⇔ \frac{b}{a} ≥4 $
Đặt: $\frac{b}{a}=t$ $(t≥4)$
Ta có: $\frac{1}{T}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t+\frac{1}{t}$
$⇒\frac{1}{T}=(\frac{t}{16}+\frac{1}{t})+\frac{15}{16}$
Tiếp tục bất đẳng thức $Cauchy$:
$⇒ (\frac{t}{16}+\frac{1}{t})+\frac{15t}{16} ≥ 2.\sqrt[]{\frac{t}{16}.\frac{1}{t}}+\frac{15t}{16}$
$\geq \frac{1}{2} +\frac{15.4}{16}=\frac{17}{4}$
$⇒T ≤ \frac{4}{17}$
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là: $\frac{4}{17}$
Dấu bằng xảy ra khi: $\left \{ {{ab=1} \atop {b=4a}} \right. ⇔\left \{ {{a=\frac{1}{2} } \atop {b=2}} \right.$
