Đáp án: làm phần dưới trước nhé
Giải thích các bước giải:
*Đặt SΔBHC=a, SΔABH=b, SΔAHC=c , SΔABC=a+b+c=x
Ta có : x/a = AD.BC/HD.BC = AD/HD
⇒ x-a/a = AD-HD/HD ⇒ b+c/a = HA/HD
cmtt ⇒ c+a/b = HC/HF, a+b/c = HB/HE
cần CM: (a+b)(b+c)(c+a)/abc ≥ 8 ⇔ (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: a+b ≥ 2√ab
b+c ≥ 2√bc ; c+a ≥ 2√ca
⇒ (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 2√ab.2√bc.2√ca = 8abc
vậy ta có đpcm
* Ta có: HD/HA + HE/HB + HF/HC ≥ 3/2
⇔ a/b+c + c/b+a + b/a+c ≥ 3/2
có: a/b+c + b/c+a + c/b+a
= a²/ab+bc + b²/bc+ca + c²/cb+ca
≥ (a+b+c)²/2(ab+bc+ca) (bất đẳng thức cauchy-schwarz)
≥ 3(ab+bc+ca)/2(ab+bc+ca) = 3/2 ( vì (a+b+c)²≥3(ab+bc+ca)
vậy ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra ở cả 2 bdt trên là a=b=c tức là tam giác ABC đều
