Ta có : $ F = 2x^{2} + 4x + 3 $
$= 2 ( x^{2} + 2x + \dfrac{3}{2} )$
$ = 2 ( x^{2} + 2 . x . 1 + 1^{2} + \dfrac{1}{2} ) $
$ = 2 [ ( x + 1 )^{2} + \dfrac{1}{2} ] $
Ta thấy : $ ( x + 1 )^{2} ≥ 0 ∀ x $
⇒ $ ( x + 1 )^{2} + \dfrac{1}{2} ≥ \dfrac{1}{2} > 0 ∀ x $
⇒ $ 2 [ ( x + 1 )^{2} + \dfrac{1}{2} ] ≥ 1 > 0 ∀ x $
Vậy biểu thức $ F = 2x^{2} + 4x + 3 $ có giá trị luôn dương với mọi $x$