Đáp án:
`M = 1/3`
Giải thích các bước giải:
Ta có : `a^3 + b^3 + c^3 = 3abc`
`<=> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0`
`<=> (a^3 + ab^2 + ac^2 - a^2b - a^2c - abc) + (a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - abc - b^2c) + (a^2c + b^2c + c^3- abc - ac^2 - bc^2) = 0`
`<=> a (a^2 + b^2 + c^2 - ab -ac - bc) + b (a^2 + b^2 + c^2 - ab -ac - bc) + c (a^2 + b^2 + c^2 -- ab -ac - bc) = 0`
`<=> (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab -ac - bc) = 0`
`<=> a + b + c =0` hoặc `a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0`
`+) a + b + c = 0`
`<=> (a+b+c)^2= 0` (không xảy ra)
`+) a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0`
`<=> 2a^2 + 2b^2+ 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0`
`<=> (a^2 + b^2 - 2ab) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) = 0`
`<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2=0`
`\forall a ; b ; c` ta có :
`(a-b)^2 \ge 0`
`(b-c)^2 \ge 0`
`(a-c)^2 \ge 0`
`=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 \ge 0`
Dấu `=` xảy ra `<=> {(a - b= 0 ),(b -c =0 ),(a - c = 0):}`
`<=> {(a=b),(b=c),(a=c):}`
`<=> a= b=c`
Với `a = b = c` thì `M = (a^2 + a^2 + a^2)/(a + a + a)^2`
`= (3a^2)/((3a)^2)`
` = (3a^2)/(9a^2)`
`= 1/3`
Vậy `M = 1/3`
