Giải thích các bước giải:
Bài 16:
Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$:
Ta có: $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\sqrt[3]{3.3.(a+2b)} \leq \frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{3+3+(a+2b)}{3}$ (1)
Chứng minh hoàn toàn tương tự:
$⇒\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\sqrt[3]{3.3.(b+2c)} \leq \frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{3+3+(b+2c)}{3}$ (2)
$⇒\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\sqrt[3]{3.3.(c+2a)} \leq \frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{3+3+(c+2a)}{3}$ (3)
Cộng các vế: $(1)+(2)+(3)$:
$⇒P \leq \frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{18+3.(a+b+c)}{3}=\frac{9}{\sqrt[3]{9} }=3\sqrt[3]{3}$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=1$
Bài 17:
Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$:
$⇒\frac{x^2}{1+y}=x^2.(1-\frac{y}{1+y}) \geq x^2.(1-\frac{y}{2.\sqrt[]{y} }=x^2.(1-\frac{\sqrt[]{y}}{2}$
Chứng minh hoàn toàn tương tự:
$⇒\frac{y^2}{1+z} \geq y^2.(1-\frac{\sqrt[]{z}}{2}$
$⇒\frac{z^2}{1+x} \geq z^2.(1-\frac{\sqrt[]{x}}{2}$
Cộng các vế trên lại với nhau:
$⇒\frac{x^2}{1+y} +\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x} \geq (x^2+y^2+z^2)-(\frac{x^2.\sqrt[]{y}}{2}+\frac{y^2\sqrt[]{z}}{2}+\frac{z^2\sqrt[]{x}}{2}) \geq 3-(\frac{x^2.\sqrt[]{y}}{2}+\frac{y^2\sqrt[]{z}}{2}+\frac{z^2\sqrt[]{x}}{2}) \geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
(Do $xyz=1$ nên đoạn trên ta áp dụng bất đẳng thức $Co-si$ )
->Điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=1$
