`a)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HK\perp AB$
`=>AH^2=AB.AK`
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AH^2=HB.HC`
$\\$
`=>AB.AK=HB .HC` (đpcm)
$\\$
`b)` Áp dụng hệ thức lượng vào $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AB^2=HB.BC`
`\qquad AC^2=HC.BC`
`=>{AB^2}/{AC^2}={HB.BC}/{HC.BC}={HB}/{HC}`
Vậy: `{AB^2}/{AC^2}={HB}/{HC}` (đpcm)
$\\$
`c)` `\hat{B}=30°; AC=6cm`
$∆ABC$ vuông tại $A$
`=>cotB=cot30°={AB}/{AC}`
`=>AB=AC.cot30°=6\sqrt{3}cm`
$\\$
`\qquad sinB=sin30°={AC}/{BC}`
`=>BC=AC : sin30°=6: 1/2=12cm`
$\\$
`\qquad AH.BC=AB.AC` (hệ thức lượng)
`=>AH={AB.AC}/{BC}={6\sqrt{3} . 6}/{12}=3\sqrt{3}cm`
Vậy: `AB=6\sqrt{3}cm; BC=12cm; AH=3\sqrt{3}cm`
