`n^5 - n `
`= n(n^4 - 1)`
`= n(n^2 - 1)(n^2 + 1)`
`= n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)`
`= n(n - 1)(n + 1)(n^2 - 4 + 5)`
`= (n^2 - 4) . n(n - 1)(n + 1) - 5n(n - 1)(n + 1)`
`= (n - 2)(n + 2)n(n - 1)(n + 1) - 5n(n - 1)(n + 1)`
`Do (n - 2)(n + 2)n(n - 1)(n + 1)` `text(là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp)`
`⇒ (n - 2)(n + 2)n(n - 1)(n + 1) \vdots 5`
`Mặt khác 5n(n - 1)(n + 1) \vdots 5`
`⇒ (n - 2)(n + 2)n(n - 1)(n + 1) - 5n(n - 1)(n + 1) \vdots 5`
`Vậy n^5 - n \vdots 5` `text(với mọi x ∈ Z)`
