Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $K$ là trung điểm $BI$
$\begin{array}{l} \overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + 2\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \end{array}$
Vậy $M$ là trọng tâm tam giác $IBC$
$\begin{array}{l} IK = \dfrac{1}{2}BI = \dfrac{1}{4}AB = \dfrac{1}{4}a\\ CI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow C{K^2} = C{I^2} + I{K^2} = \dfrac{{{a^2}}}{{16}} + \dfrac{{3{a^2}}}{4} = \dfrac{{13{a^2}}}{{16}}(pytago)\\ CK = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{4} \Rightarrow CM = \dfrac{{2CK}}{3} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{6}\to C \end{array}$
