`a,` `AH\botBC` $(gt)$ `⇒\hat{AHB}=\hat{AHC}=90^o`
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong `ΔAHB` vuông tại `H` `(\hat{AHB}=90^o)` có:
`sin\hat{B}={AH}/{AB}={4,8}/{6}=4/5`
`⇒\hat{B}~~53^o`
Áp dụng định lý Pytago trong `ΔAHB` vuông tại `H` `(\hat{AHB}=90^o)` có:
`AB^2=AH^2+HB^2`
Hay `6^2=4,8^2+HB^2`
`⇒36=23,04+HB^2`
`⇒HB^2=36-23,04=12,96`
`⇒HB=3,6` `(cm)` `\text{(vì}` `HB>0)`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ `,AH\botBC` $(gt)$ có:
`AB^2=BH.BC`
Hay `6^2=3,6.BC`
`⇒36=3,6.BC`
`⇒BC=10` `(cm)`
`b,` Gọi tâm đường tròn đường kính `AH` là `I`
Xét `(I)`, đường kính `AH` có:
`+D\in(I)⇒\hat{ADH}=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`⇒HD\botAB`
`+E\in(I)⇒\hat{AEH}=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`⇒HE\botAC`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHB` vuông tại `A` $(gt)$ `,HD\botAB` `(cmt)` có:`AH^2=AD.AB`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHC` vuông tại `A` $(gt)$ `,HE\botAC` `(cmt)` có:`AH^2=AE.AC`
`⇒AD.AB=AE.AC`
`c,` Gọi `G` là giao điểm của `DE` và `AO`
`AD.AB=AE.AC` `(cmt)`
`⇒{AD}/{AC}={AE}/{AB}`
Xét `ΔADE` và `ΔACB` có:
`{AD}/{AC}={AE}/{AB}` `(cmt)`
`\hat{BAC}`: góc chung
`⇒ΔADE`$\backsim$`ΔACB` `(c.g.c)`
`⇒\hat{AED}=\hat{ABC}` (hai góc tương ứng) Hay `\hat{AEG}=\hat{ABC}`
Xét `ΔABC` vuông tại `A` có:
`AO` là trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC` (`O` là trung điểm của `BC`)
`⇒AO=OB=OC=1/2BC`
Xét `ΔAOC` có: `OA=OC` `(cmt)`
`⇒ΔOAC` cân tại `O`
`⇒\hat{OAC}=\hat{OCA}` Hay `\hat{GAE}=\hat{ACB}`
Xét `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ có:
`\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^o` (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Mà `\hat{AEG}=\hat{ABC}` `(cmt)` `,\hat{GAE}=\hat{ACB}` `(cmt)`
`⇒\hat{AEG}+\hat{GAE}=90^o`
Xét `ΔAGE` có: `\hat{AEG}+\hat{GAE}=90^o` `(cmt)`
`⇒ΔAGE` vuông tại `G`
`⇒OA\botDE` tại `G`
