Đáp án:
Câu 46: $B.\ 2a^3$
Câu 47: $A.\ \dfrac{a^3}{12}$
Câu 48: $C.\ \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$
Câu 49: $C.\ \dfrac{2a\sqrt3}{3}$
Giải thích các bước giải:
Câu 46:
Ta có:
$S.ABCD$ là hình chóp đều
$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$\quad SB^2 = SO^2 + OB^2$
$\Rightarrow OB = \sqrt{SB^2 - SO^2} = \sqrt{4a^2 - a^2}$
$\Rightarrow OB = a\sqrt3$
$\Rightarrow BD =2OB= 2a\sqrt3$
$\Rightarrow AB = \dfrac{BD}{\sqrt2} = a\sqrt6$
$\Rightarrow S_{ABCD} = AB^2 = \left(a\sqrt6\right)^2 = 6a^2$
Do đó:
$\quad V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SO$
$\Leftrightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac13\cdot 6a^2\cdot a$
$\Leftrightarrow V_{S.ABCD} = 2a^3$
Câu 47:
Xét hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên hợp với đáy một góc $45^\circ$ là hình chóp thỏa mãn đề bài.
Gọi $O$ là tâm của đáy
$\Rightarrow \begin{cases}SO\perp (ABC)\\OA = OB = OC = \dfrac{a\sqrt3}{3}\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{(SA;(ABC))} = \widehat{SAO} = 45^\circ$
$\Rightarrow SO = OA.\tan45^\circ = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
Ta được:
$\quad V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SO$
$\Leftrightarrow V_{S.ABC} = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{3}$
$\Leftrightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{a^3}{12}$
Câu 48:
Tương tự câu 47, ta được:
$\widehat{(SA;(ABC))} = \widehat{SAO} = 60^\circ$
$\Rightarrow SO = OA.\tan60^\circ = \dfrac{a\sqrt3}{3}\cdot \sqrt3 = a$
Ta được:
$\quad V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SO$
$\Leftrightarrow V_{S.ABC} = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot a$
$\Leftrightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$
Câu 49:
Ta có:
$\quad V = \dfrac13S_đh$
$\Leftrightarrow h = \dfrac{3V}{S_đ}$
$\Leftrightarrow h = \dfrac{3\cdot 2a^3}{\dfrac{\left(2a\sqrt3\right)^2\sqrt3}{4}}$
$\Leftrightarrow h = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$
