Xét phương trình `x^2-2(m+1)x+m^2+1=0`
Có `Δ=[-2(m+1)]^2-4(m^2+1)`
`=4(m+1)^2-4m^2-4`
`=4(m^2+2m+1)-4m^2-4`
`=4m^2+8m+4-4m^2-4`
`=8m`
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
`⇔Δ>0`
`⇔8m>0`
`⇔m>0`
Với `x_1,x_2` là nghiệm của phương trình. Theo Viét có:
`{(x_1+x_2=2(m+1)=2m+2(1)),(x_1.x_2=m^2+1(2)):}`
Theo bài ra có: `x_1-x_2=1(3)`
Từ `(1)` và `(3)` có hệ phương trình:
`{(x_1+x_2=2m+2),(x_1-x_2=1):}`
`⇔{(2x_1=2m+3),(x_1-x_2=1):}`
`⇔{(x_1={2m+3}/{2}),({2m+3}/{2}-x_2=1):}`
`⇔{(x_1={2m+3}/{2}),(x_2={2m+3}/{2}-1):}`
`⇔{(x_1={2m+3}/{2}),(x_2={2m+3}/{2}-{2}/{2}):}`
`⇔{(x_1={2m+3}/{2}),(x_2={2m+3-2}/{2}):}`
`⇔{(x_1={2m+3}/{2}),(x_2={2m+1}/{2}):}` thay vào `(2)` có:
`{2m+3}/{2}.{2m+1}/{2}=m^2+1`
`⇔{(2m+3).(2m+1)}/{4}={4(m^2+1)}/{4}`
`⇒(2m+3).(2m+1)=4(m^2+1)`
`⇔4m^2+2m+6m+3=4m^2+4`
`⇔4m^2+8m+3-4m^2-4=0`
`⇔8m-1=0`
`⇔8m=1`
`⇔m=1/8(TM)`
Vậy với `m=1/8` thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt `x_1,x_2` thỏa mãn `x_1-x_2=1`
