a) $\triangle$ADB có: E là trung điểm AD và K là trung điểm BD

`->` EK là đường trung bình

`->` EK // AB

$\triangle$BDC có K là trung điểm BD và F là trung điểm BC

`->` KF là đường trung bình

`->` KF // CD

Mà AB // CD `->` KF // AB

Ta có: EK // AB và KF // AB

`->` E, K, F thẳng hàng

b) $\triangle$ABC có: F là trung điểm BC và IF // AB ( vì KF // AB)

`->` I là trung điểm AC

`->` IA = IC 

c) $\triangle$ADC có E là trung điểm AD và I là trung điểm AC

`->` EI là đường trung bình

`->` EI = `1/2`DC

KF là đường trung bình $\triangle$BDC

`->` KF = `1/2`DC

`=>` EI = KF `->` EK + KI = KI + IF

`->` EK = IF (đpcm)

d) IF là đường trung bình của $\triangle$ABC

`->` = `1/2`AB = `1/2` . 6 = 3 cm

KF là đường trung bình của $\triangle$BDC

`->` KF = `1/2`DC = `1/2` . 10 = 5cm

KF = IK + IF `->` 5 = IK + 3

`->` IK = 2 (cm)

`a)`

Xét `ΔABD` có:

`AE=DE(g``t)`

`BK=DK(g``t)`

`⇒EK` là đường trung bình của `ΔABD`

`⇒EK////AB(` tính chất đường trung bình của `Δ)(đpcm)(1)`

Vì `ABCD` là hình thang

`⇒AB////CD(` tính chất hình thang `)`

Xét `ΔBCD` có:

`BK=DK(g``t)`

`BF=CF(g``t)`

`⇒KF` là đường trung bình của `ΔBCD`

`⇒KF////CD(` tính chất đường trung bình của `Δ)`

Mà `AB////CD(cmt)`

`⇒KF////AB(đpcm)(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒E,F,K` thẳng hàng `(đpcm)`

`b)`

Vì `KF////AB(cmt)`

Mà `I∈KF`

`⇒IF////AB`

Xét `ΔABC` có:

`IF////AB(cmt)`

`BF=CF(g``t)`

`⇒IA=IC(đpcm)`

`c)`

Xét `ΔACD` có:

`AE=DE(g``t)`

`IA=IC(cmt)`

`⇒IE` là đường trung bình của `ΔACD`

`⇒IE=1/2CD(` tính chất đường trung bình của `Δ)(3)`

Vì `KF` là đường trung bình của `ΔBCD`

`⇒KF=1/2CD(` tính chất đường trung bình của `Δ)(4)`

Từ `(3)` và `(4)⇒IE=KF(đpcm)`

Vì `KK` là đường trung bình của `ΔABD`
`⇒KE=1/2AB(` tính chất đường trung bình của `Δ)(5)`

Xét `ΔABC` có:

`BF=CF(g``t)`

`IA=IC(cmt)`

`⇒IF` là đường trung bình của `ΔABC`

`⇒IF=1/2AB(` tính chất đường trung bình của `Δ)(6)`

Từ `(5)` và `(6)⇒KE=IF(đpcm)`

`d)`

Ta có:`KE=1/2AB(cmt)`

`⇒KE=1/2 .6`

`⇒KE=3(cm)`

Ta có:`IE=1/2CD(cmt)`

`⇒IE=1/2 .10`

`⇒IE=5(cm)`

Ta có:`IE=KE+IK`

`⇒IK=IE-KE`

`⇒IK=5-3`

`⇒IK=2(cm)`

Vậy `IK=2cm`