`1)` $BE;CF$ là hai đường cao cắt nhau tại $H$ của $∆ABC$
`=>\hat{AEH}=\hat{AFH}=90°`
`=>\hat{AEH}+\hat{AFH}=90°+90°=180°`
Mà hai góc `\hat{AEH};\hat{AFH}` ở vị trí đối nhau
`=>AEHF` nội tiếp (đpcm)
$\\$
`2)` Gọi $I$ là trung điểm $AH$
`=>EI;FI` lần lượt là trung tuyến của hai tam giác vuông $∆AEH;∆AFH$
`=>EI=AI=HI=1/ 2 AH=FI`
`=>I` là tâm đường tròn ngoại tiếp $AEHF$ bán kính `IE=IF=1/ 2 AH` `(1)`
$\\$
Vì $AI=EI$
`=>∆AEI` cân tại $I$
`=>\hat{IAE}=\hat{IEA}`
Mà `\hat{IEA}+\hat{IEH}=\hat{AEH}=90°`
`=>\hat{IAE}+\hat{IEH}=90°` $(2)$
$\\$
Vì $M$ là trung điểm $BC$
`=>EM` là trung tuyến $∆BCE$ vuông tại $E$
`=>EM=BM=1/ 2 BC`
`=>∆MBE` cân tại $M$
`=>\hat{MBE}=\hat{MEB}`
$\\$
Ta có: `\hat{MBE}=\hat{IAE}` (cùng phụ `\hat{ACD}`)
`=>\hat{MEB}=\hat{IAE}` $(3)$
Từ `(2);(3)=>\hat{MEB}+\hat{IEH}=90°`
`=>\hat{MEI}=90°`
`=>ME`$\perp IE$ $(4)$
Từ `(1);(4)=>ME` là tiếp tuyến tại $E$ của đường tròn ngoại tiếp $AEHF$
$\\$
Tương tự chứng minh được:
`\qquad \hat{MFI}=90°`
`=>MF`$\perp IF$
`=>MF` là tiếp tuyến tại $F$ của đường tròn ngoại tiếp $AEHF$
Vậy $ME; MF$ là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHF$
