Đáp án:
$I = 2$
Giải thích các bước giải:
$\quad I = \displaystyle\iint y^2dxdy\quad$ với $D:\begin{cases}y = x +2\\y = 2 - 2x\\y = 0\end{cases}$
Phương trình tung độ giao điểm:
$y-2 = \dfrac{2 - y}{2} \Leftrightarrow y= 2$
Miền $D$ được biểu diễn:
$D:\left\{(x,y): 0 \leqslant y \leqslant 2;\ y-2 \leqslant x \leqslant \dfrac{2-y}{2}\right\}$
Ta được:
$\quad I = \displaystyle\int\limits_0^2dy\displaystyle\int\limits_{y-2}^{\tfrac{2 - y}{2}}y^2dx$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^2\left(xy^2\Bigg|_{y-2}^{\tfrac{2-y}{2}}\right)dy$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^2\left(3y^2 - \dfrac{3y^3}{2}\right)dy$
$\Leftrightarrow I = \left(y^3 - \dfrac{3y^4}{8}\right)\Bigg|_0^2$
$\Leftrightarrow I = 2$
