a) $\begin{cases}AI//HM\\AH//IM\end{cases}$ `=>` AMHI là hình bình hành
`->` $\begin{cases} AH=IM\\AI=HM\\\widehat{A}=\widehat{IMH}\end{cases}$
`=>` $\triangle$AIH = $\triangle$MHI (c.g.c)
b) Từ câu a `=>` AI = HM (1)
HM // AB `=>` $\widehat{B}$ = $\widehat{HMC}$
Mà $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ ( $\triangle$ABC cân)
`=>` $\widehat{HMC}$ = $\widehat{C}$
`->` $\triangle$HMC cân tại H `->` HM = HC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AI = HC
c) HI là trung trực của MN `=>` IN = IM
Tương tự câu b `=>` $\triangle$IBH cân tại I `->` IB = IM
`=>` IN = IB
d) Chu vi $\triangle$ADH = AD + AH + DH
Có AM = IM = IB
`=>` Chu vi $\triangle$AHD không đổi khi M thay đổi (đpcm)