Đáp án:
$x = 5$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng 1 số hằng đẳng thức đáng nhớ sau :
+) $a^{3} - b^{3} = ( a - b )( a^{2} + ab + b^{2} )$
+) $a^{2} - b^{2} = ( a - b )( a + b )$
ĐKXĐ : $x ≥ \frac{1}{2} ; 8 - \sqrt[3]{x+3} ≥ 0$
⇔ $\frac{1}{2} ≤ x ≤ 509$
Ta có : $( \sqrt[3]{x+3} )^{3} - 2^{3} = ( \sqrt[3]{x+3} - 2 )[ ( \sqrt[3]{x+3} )^{2} + 2\sqrt[3]{x+3} + 4 ]$
⇔ $\sqrt[3]{x+3} - 2 = \frac{x+3-8}{(\sqrt[3]{x+3} )^{2}+2\sqrt[3]{x+3}+4}$
⇔ $\sqrt[3]{x+3} - 2 = \frac{x-5}{(\sqrt[3]{x+3} )^{2}+2\sqrt[3]{x+3}+4}$
( do $( \sqrt[3]{x+3} )^{2} + 2\sqrt[3]{x+3} + 4 > 0$ với $∀ \frac{1}{2} ≤ x ≤ 509$ )
Lại có : $( \sqrt[]{2x-1} - 3 )( \sqrt[]{2x-1} + 3 ) = 2x - 1 - 9$
⇔ $( \sqrt[]{2x-1} - 3 )( \sqrt[]{2x-1} + 3 ) = 2x - 10$
⇔ $\sqrt[]{2x-1} - 3 = \frac{2x-10}{\sqrt[]{2x-1}+3}$
( do $\sqrt[]{2x-1} + 3 > 0$ với $∀ \frac{1}{2} ≤ x ≤ 509$ )
Có phương trình :
$2\sqrt[]{2x-1} = 8 - \sqrt[3]{x+3}$
⇔ $2( \sqrt[]{2x-1} - 3 ) + ( \sqrt[3]{x+3} - 2 ) = 0$
⇔ $2×\frac{2x-10}{\sqrt[]{2x-1}+3} + \frac{x-5}{(\sqrt[3]{x+3} )^{2}+2\sqrt[3]{x+3}+4} = 0$
⇔ $( x - 5 )( \frac{4}{\sqrt[]{2x-1}+3} + \frac{1}{(\sqrt[3]{x+3} )^{2}+2\sqrt[3]{x+3}+4} ) = 0$
⇔ $x = 5$ (TM)
( vì $\frac{4}{\sqrt[]{2x-1}+3} + \frac{1}{(\sqrt[3]{x+3} )^{2}+2\sqrt[3]{x+3}+4} > 0$ với với $∀ \frac{1}{2} ≤ x ≤ 509$ )
