Đáp án+Giải thích các bước giải:
$1) \Delta ABC$ vuông tại $A$
$\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2 (Pytago)\\ \Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5(cm)$
$\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$
$\Rightarrow AH.BC=AB.AC\\ \Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{12}{5} (cm)\\ 2)$
$a) \Delta ACD$ cân tại $C (CA=CD)$, đường cao $CB$ đồng thời là trung trực
$\Rightarrow CB$ đồng thời là trung trực $AD$
$\Rightarrow BA=BD$
Xét $\Delta BAC$ và $\Delta BDC$
$BC:$ chung
$BA=BD\\ AC=DC\\ \Rightarrow \Delta BAC = \Delta BDC (c.c.c)\\ \Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{BDC}\\ \Rightarrow \widehat{BDC}=90^\circ\\ \Rightarrow BD \perp CD$
Mà $D \in (C)$
$\Rightarrow BD$ là tiếp tuyến của $(C)$
$b) \Delta BAC = \Delta BDC\\ \Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{B_2}$
$ \Rightarrow BC$ là phân giác $\widehat{EBF}$
$\Delta EBF$ có $BC$ là đồng thời là phân giác, đường cao
$ \Rightarrow \Delta EBF $ cân tại $B$
$ \Rightarrow \widehat{EBF}+2\widehat{E_1}=180^\circ (*)$
Tứ giác $ADBC$ có $\widehat{CAB}+\widehat{ABD}+\widehat{BDC}+\widehat{DCA}=360^\circ$
$ \Rightarrow \widehat{ABD}+\widehat{DCA}=360^\circ-(\widehat{CAB}+\widehat{BDC})\\ \Rightarrow \widehat{EBF}+\widehat{DCA} =180^\circ (1)$
$PA, PM$ là hai tiếp tuyến cắt nhau $\Rightarrow CP$ là phân giác $\widehat{ACM}$
$QF, QM$ là hai tiếp tuyến cắt nhau $\Rightarrow CQ$ là phân giác $\widehat{DCM}$
$ \Rightarrow \widehat{PCQ}=\dfrac{1}{2} (\widehat{ACM}+ \widehat{DCM})=\dfrac{1}{2} \widehat{DCA} (2)\\ (1)(2) \Rightarrow \widehat{EBF}+2\widehat{PCQ}=180^\circ (*')\\ (*) (*') \Rightarrow \widehat{E_1}=\widehat{PCQ}$
$PA, PM$ là hai tiếp tuyến cắt nhau
$\Rightarrow CP$ là phân giác $\widehat{APM}$
$\Rightarrow \widehat{P_1}=\widehat{P_2}$
Xét $\Delta PEC$ và $\Delta PCQ$
$\widehat{P_1}=\widehat{P_2}\\ \widehat{E_1}=\widehat{PCQ}\\ \Rightarrow \Delta PEC \backsim \Delta PCQ (g.g)$
Chứng minh tương tự ta có $\Delta CFQ \backsim \Delta PCQ (g.g)$
$\Rightarrow \Delta PEC \backsim \Delta CFQ \\ \Rightarrow \dfrac{PE}{CF}=\dfrac{CE}{QF}\\ \Rightarrow PE.QF=CF.CE=\dfrac{1}{2} EF\\ \Rightarrow 4PE.QF=EF^2\\ \Rightarrow 2\sqrt{PE.QF}=EF.$
