Đáp án+Giải thích các bước giải:
$a)$Xét $\Delta AEC$ và $\Delta ADB$
$\widehat{A}$: chung
$\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta AEC \backsim \Delta ADB\\ \Rightarrow \widehat{ACE}=\widehat{ABD}(1)$
$BN$ là phân giác $\widehat{ABD}$
$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABD}(2)$
$CM$ là phân giác $ \widehat{ACE}$
$\Rightarrow \widehat{C_1}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACE}(3)\\ (1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{C_1}$
Xét $\Delta BOH$ và $\Delta CDH$
$\widehat{BHO}=\widehat{CHD}(đ đ)\\ \widehat{B_1}=\widehat{C_1}\\ \Rightarrow \Delta BOH \backsim \Delta CDH\\ \Rightarrow \widehat{O_1} = \widehat{CDH}=90^\circ\\ \Leftrightarrow BN \perp CM$
$b)$Xét $\Delta BOH$ và $\Delta BOM$
BO: chung
$\widehat{O_1}=\widehat{O_2}=90^\circ\\ \widehat{B_1}=\widehat{B_2}\\ \Rightarrow \Delta BOH = \Delta BOM\\ \Rightarrow OH = OM$
$\Rightarrow O$ là trung điểm $HM$
Chứng minh tương tự $O$ là trung điểm $KN$
$MNHK$ có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow MNHK$ là hình thoi.
