b|
Vì AH _|_ BC (gt)
=> ^BHA = 90°
Vì AI _|_ BK (gt)
=> ^AIB = 90°
Xét tgBHIA ta có :
^BHA = ^AIB = 90°
Mà hai góc này cùng nhìn một cạnh AB
=> tgBHIA nội tiếp
=> ^HIB = ^HAB (góc nội tiếp cùng chắn cung BH) (1)
Vì ∆ABC vuông tại A (gt)
=> ^C phụ ^B (2)
Vì ^BHA = 90° (cmt)
=> ∆HBA vuông tại H
=> ^HAB phụ ^B (3)
Từ (2) và (3)
=> ^C = ^HAB (4)
Từ (1) và (4)
=> ^HIB = ^C
Xét ∆BHI và ∆BKC ta có :
^B chung
^HIB = ^C (cmt)
=> ∆BHI ~ ∆BKC (g - g) (đpcm)
=> BH/BK = BI/BC
=> BK*BI = BC*BH (đpcm)
c|
Vì HM _|_ BK (gt)
=> ^HMK = 90°
Vì IN _|_ BC (gt)
=> ^BNI = 90°
Xét tgMHNI ta có :
^HMK + ^BNI = 90° + 90° = 180°
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
=> tgMHNI là tứ giác nội tiếp
=> ^HNM = ^HIB (góc nội tiếp cùng chắn cung MH)
Mà ^HIB = ^C (cmt)
=> ^HNM = ^C (= ^HIB)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
=> MN // AC
Mà AC _|_ AB (do ^A = 90°)
=> MN _|_ AB (đpcm)
