Đáp án:
$A$
Giải thích các bước giải:
$S.ABC$ là chóp tam giác đều
$\Rightarrow $Hình chiếu của $S$ xuống $(ABC)$ trùng với tâm $G$ của tam giác
$\Rightarrow SG=h$
$D$ là trung điểm $BA$
$SG \perp (ABC), DG \subset(ABC)\\ \Rightarrow SG \perp DG$
$\Delta SGD$ vuông tại $G$
$\Rightarrow SG^2+DG^2=SD^2(1)$
$\Delta ABC$ đều, $CD$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao
$\Rightarrow CD=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}\\ \Rightarrow DG=\dfrac{1}{3}CD=\dfrac{AB\sqrt{3}}{6}(2)$
$S.ABC$ là chóp tam giác đều
$\Rightarrow SA=SB$
$\Rightarrow \Delta SAB$ cân tại $S$
$\Rightarrow SD$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao
$BD=\dfrac{1}{2}AB$
$\Delta SDB$ vuông tại $D$
$\Rightarrow SD=BD \tan \alpha=\dfrac{AB \tan \alpha}{2}(3)\\ (1)(2)(3) \Rightarrow h^2+\left(\dfrac{AB\sqrt{3}}{6}\right)^2=\left(\dfrac{AB \tan \alpha}{2}\right)^2\\ \Leftrightarrow h^2+\dfrac{AB^2}{12}=\dfrac{AB^2\tan^2\alpha}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{AB^2}{12}-\dfrac{AB^2\tan^2\alpha}{4}=-h^2\\ \Leftrightarrow AB^2\left(\dfrac{1}{12}-\dfrac{\tan^2\alpha}{4}\right)=-h^2\\ \Leftrightarrow AB^2\dfrac{1-3\tan^2\alpha}{12}=-h^2\\ \Leftrightarrow AB^2=\dfrac{12h^2}{3\tan^2\alpha-1}\\ S_{ABC}=\dfrac{AB^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}h^2}{3\tan^2\alpha-1}\\ V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}h.S_{ABC}=\dfrac{\sqrt{3}h^3}{3\tan^2\alpha-1}$
