Đáp án + giải thích các bước giải:
Cách 1:
`P=(a^2(b+c))/(b^2+c^2) + (b^2(a+c))/(a^2+c^2)+(c^2(a+b))/(a^2+b^2)\ge a+b+c`
`->(a^2(b+c))/(b^2+c^2)-a + (b^2(a+c))/(a^2+c^2)-b+(c^2(a+b))/(a^2+b^2)-c\ge0`
`->(a^2b+a^2c-ab^2-ac^2)/(b^2+c^2)+(b^2a+b^2c-ba^2-bc^2)/(a^2+c^2)+(c^2a+c^2b-ca^2-cb^2)/(a^2+b^2)\ge0`
`->(ab(a-b)-ca(c-a))/(b^2+c^2)+(-ab(a-b)+bc(b-c))/(a^2+c^2)+(ca(c-a)-bc(b-c))/(a^2 +b^2)>=0`
`->(ab(a-b))/(b^2+c^2)-(ab(a-b))/(a^2+c^2)+(bc(b-c))/(a^2+c^2)-(bc(b-c))/(a^2+b^2)+(ca(c-a))/(a^2+b^2)-(ca(c-a))/(b^2+c^2)\ge0`
`->(ab(a-b)(a^2+c^2-b^2-c^2))/((b^2+c^2)(a^2+c^2))+(bc(b-c)(a^2+b^2-a^2-c^2))/((a^2+c^2)(a^2+b^2))+(ca(c-a)(b^2+c^2-a^2-b^2))/((a^2+b^2)(b^2+c^2))\ge0`
`->(ab(a-b)^2(a+b))/((b^2+c^2)(a^2+c^2))+(bc(b-c)^2(b+c))/((a^2+c^2)(a^2+b^2))+(ca(c-a)^2(c+a))/((a^2+b^2)(b^2+c^2))\ge0` (luôn đúng)
`->đpcm`
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c` hoặc `(a;b;c)=(0;t;t)` và các hoán vị
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu:
`P=(a^2(b+c))/(b^2+c^2) + (b^2(a+c))/(a^2+c^2)+(c^2(a+b))/(a^2+b^2)`
`=[a^2(b+c)]^2/(a^2(b+c)(b^2+c^2)) + [b^2(a+c)]^2/(b^2(a+c)(a^2+c^2))+[c^2(a+b)]^2/(c^2(a+b)(a^2+b^2))`
`>=[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]^2/(a^2(b+c)(b^2+c^2)+b^2(a+c)(a^2+c^2)+c^2(a+b)(a^2+b^2)) `
Đổi biến `p,q,r`. Ta có:
`**) [a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]^2`
`=[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]^2`
`=(pq-3r)^2`
`**) a^2(b+c)(b^2+c^2)+b^2(a+c)(a^2+c^2)+c^2(a+b)(a^2+b^2)`
`=(b+c)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-b^2c^2)+(a+c)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-c^2a^2)+(a+b)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2)`
`=(b+c+c+a+a+b)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-b^2c^2(b+c)-c^2a^2(a+c)-a^2b^2(a+b)`
`=2(a+b+c)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-b^2c^2(a+b+c-a)-c^2a^2(a+b+c-b)-a^2b^2(a+b+c-c)`
`=2(a+b+c)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a+b+c)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+abc(bc+ca+ab)`
`=2p(q^2-2pr)-p(q^2-2pr)+rq`
`=p(q^2-2pr)+rq`
`->P>=(pq-3r)^2/(p(q^2-2pr)+rq )`
Ta cần chứng minh: `P>=p`
`->(pq-3r)^2/(p(q^2-2pr)+rq )>=p`
`->(p^2q^2-6pqr+9r^2)/(pq^2-2p^2r+rq)-p>=0`
`->(p^2q^2-6pqr+9r^2-p^2q^2+2p^3r-pqr)/(pq^2-2p^2r-rq)>=0 `
`->(2p^3r-7pqr+9r^2)/(pq^2-2p^2r-rq)>=0 `
Vì `pq^2-2p^2r-rq=a^2(b+c)(b^2+c^2)+b^2(a+c)(a^2+c^2)+c^2(a+b)(a^2+b^2)>0` nên ta cần chứng minh `2p^3r-7pqr+9r^2>=0`
`->2p^3-7pq+9r>=0`
mà theo bất đẳng thức Schur dạng`(a+b+c)^3+9abc>=4(a+b+c)(ab+bc+ca)`, ta có `p^3+9r>=4pq` nên ta cần chứng minh:
`p^3+4pq-7pq>=0`
`->p^3-3pq>=0`
`->p^2-3q>=0`
`->p^2>=3q` (luôn đúng)
`->đpcm `
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c` hoặc `(a;b;c)=(0;t;t)` và các hoán vị
