a)

Theo hệ thức lượng, ta có:

$\begin{cases}AB^2=HB.BC\\AC^2=HC.BC\end{cases}$

$\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{HB.BC}{HC.BC}=\dfrac{HB}{HC}$

b)

Tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật do có 3 góc vuông

$\Rightarrow AH=DE$

Theo hệ thức lượng, ta có:

$\begin{cases}BH^2=BD.BA\\CH^2=CE.CA\end{cases}$

$\Rightarrow {{\left( BH.CH \right)}^{2}}=\left( BD.CE \right).\left( BA.CA \right)$

$\Rightarrow A{{H}^{4}}=\left( BD.CE \right).\left( AH.BC \right)$

$\Rightarrow A{{H}^{3}}=BD.CE.BC$

$\Rightarrow D{{E}^{3}}=BD.CE.BC$

c)

Theo câu a, ta có:

$\dfrac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{HB}{HC}$

$\Rightarrow \dfrac{A{{B}^{4}}}{A{{C}^{4}}}=\dfrac{H{{B}^{2}}}{H{{C}^{2}}}$

$\Rightarrow \dfrac{A{{B}^{4}}}{A{{C}^{4}}}=\dfrac{DB.AB}{EC.AC}$

$\Rightarrow \dfrac{A{{B}^{3}}}{A{{C}^{3}}}=\dfrac{DB}{EC}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Áp dụng hệ thức lượng, ta được:

AD.AB=AH^2

AE.AC=AH^2

⇒AD.AB=AE.AC

b) Ta có:

AB.AC=BC.AH=2SABC

⇒ BC = AB.AC/AH

+ DB.CE.BC

  =DB.CE.AB.AC/AH

  =(DB.AB).(CE.AC)/AH

  =BH^2.CH^2/AH

  =AH^4/AH = AH^3

c) Ta có:

ΔABH ∼ ΔCAH

⇒ AB/AC = BH/AH

⇒ (AB/AC)^2 = BH^2/AH^2

                        = BH^2/BH.CH

                        =BH/CH

⇒ (AB/AC)^4 = (BH/CH)^2

                        =BD.AB/CE.AC

⇒ (AB/AC)^3  =  BD/CE

d) Ta có:

ΔADH ∼ ΔCEH

⇒ HD/HE = AD/CE

⇒ AB/AC.HD/HE = AD.AB/CE.AC

                             = AH^2/CH^2

                             = BH.CH/CH^2

                             = BH/CH

                             = AB^2/AC^2

⇒ HD/HE=AB/AC

⇒ ( HD/HE )^3=(AB/AC)^3

                          = DB/EC