Đáp án:
$a. P = \frac{x+1}{2x}$
$b. x =$ {$- 1 , 1$}
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ : $x \ne 0 , x \ne 2$
Ta có :
$A = \frac{x^{2}-2x}{2x^{2}+8} - \frac{2x^{2}}{8-4x+2x^{2}-x^{3}}$
$⇔ A = \frac{x^{2}-2x}{2(x^{2}+4)} + \frac{2x^{2}}{x^{3}-2x^{2}+4x-8}$
$⇔ A = \frac{x^{2}-2x}{2(x^{2}+4)} + \frac{2x^{2}}{(x-2)(x^{2}+4)}$
$⇔ A = \frac{(x^{2}-2x)(x-2)}{2(x^{2}+4)(x-2)} + \frac{4x^{2}}{2(x-2)(x^{2}+4)}$
$⇔ A = \frac{x^{3}-4x^{2}+4x}{2(x^{2}+4)(x-2)} + \frac{4x^{2}}{2(x^{2}+4)(x-2)}$
$⇔ A = \frac{x^{3}+4x}{2(x^{2}+4)(x-2)}$
$⇔ A = \frac{x(x^{2}+4)}{2(x^{2}+4)(x-2)}$
$⇔ A = \frac{x}{2(x-2)}$
Lại có :
$B = 1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$
$⇔ B = \frac{x^{2}-x-2}{x^{2}}$
$⇔ B = \frac{(x-2)(x+1)}{x^{2}}$
Theo đề bài :
$⇒ P = A.B$
$⇔ P = \frac{x}{2(x-2)}.\frac{(x-2)(x+1)}{x^{2}}$
$⇔ P = \frac{x+1}{2x}$
$b. P = \frac{x+1}{2x}$
$⇔ 2P = \frac{x+1}{x}$
$⇔ 2P = 1 + \frac{1}{x}$
Vì $P$ có giá trị nguyên ⇒ $2P$ cũng có giá trị nguyên
⇒ $\frac{1}{x}$ có giá trị nguyên
Mà $x$ là giá trị nguyên
⇒ $1$ $\vdots$ $x$
⇒ $x ∈$ ước của $1 =$ {$±1$}
Với $x = 1 ⇒ 2P = \frac{1+1}{1}$
⇔ $2P = 2$
⇔ $P = 1$ (TM)
Với $x = - 1 ⇒ 2P = \frac{-1+1}{-1}$
⇔ $2P = 0$
⇔ $P = 0$ (TM)
Kết hợp 2 trường hợp và điều kiện xác định : $x =$ {$- 1 , 1$}
