Đáp án:
`{( m = -2 ),(n = -11 ):}`
Giải thích các bước giải:
Ta có định lí Bézout được phát biểu như sau :
Số dư khi chia đa thức `f(x)` cho nhị thức `x-a` là giá trị của đa thức `f(x)` tại `x=a` (hay là `f(a)`)
Hệ quả : `f(x) \vdots x - a <=> f(a) =0`
----
Đặt `f(x) = mx^3 + nx^2 + 5x + 50 `
`g(x) = x^2 + 3x - 10 = x^2 + 5x - 2x - 10 = x (x+5)- 2 (x+5) = (x-2)(x+5)`
Để `f(x)` chia hết cho `g(x)` thì : `{(f(x) \vdots x - 2 ),(f(x) \vdots x + 5 ):}`
Áp dụng hệ quả định lí Bézout ta có :
`f(x) \vdots x - 2`
`<=> f(2) = 0`
`<=> m . 2^3 + n . 2^2 + 5 . 2 + 50 = 0`
`<=> 8m + 4n + 10 + 50 =0`
`<=> 8m + 4n = -60`
`<=> 4 (2m+n) = -60`
`<=> 2m + n = -15 (1)`
Tương tự, áp dụng hệ quả định lí Bézout ta có :
`f(x) \vdots x + 5`
`<=> f(-5) =0`
`<=> m . (-5)^3 + n . (-5)^2 + 5 . (-5) + 50 =0`
`<=> -125m + 25n - 25 + 50 =0`
`<=> -125m +25n = -25`
`<=> -25 (5m - n) = -25`
`<=> 5m - n = 1 (2)`
Cộng các vế tương ứng của `(1)` và `(2)` ta có :
`(2m+n) + (5m-n) = -15 + 1`
`<=> 2m + n + 5m - n = -14`
`<=> 7m = -14`
`<=> m = -2`
Mà `2m + n = -15` nên `n = -11`
Vậy với `{( m = -2 ),(n = -11 ):}` thì `mx^3 + nx^2 + 5x + 50 \vdots x^2 +3x-10`
