$\\$
Bài `3.`
`(a+b+c)^2 = 3 (ab+bc+ca)`
`-> a^2 +b^2 +c^2 + 2 (ab+bc+ca) - 3 (ab+bc+ca)=0`
`->a^2 + b^2 +c^2 - ab - bc - ca=0`
`-> 2a^2 +2b^2 +2c^2 -2ab - 2bc-2ca=0`
`-> (a^2 - 2ab + b^2)+(b^2 - 2bc +c^2)+(c^2 - 2ca +a^2)=0`
`->(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2=0`
Vì `(a-b)^2 ≥0, (b-c)^2 ≥ 0, (c-a)^2 ≥0` với mọi `a,b,c`
`-> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥0∀a,b,c`
Dấu "`=`" xảy ra khi :
`↔ (a-b)^2=0, (b-c)^2=0, (c-a)^2=0`
`↔a-b=0, b-c=0, c-a=0`
`↔ a=b, b=c, c=a`
`↔ a=b=c`
$\\$
Bài `4.`
`a^3 + b^3 +c^3=3abc`
`-> a^3 + b^3 +c^3-3abc=0`
`-> (a+b)^3 +c^3 - 3ab (a+b)-3abc=0`
`-> (a+b+c)[(a+b)^2- (a+b)c+c^2]- 3ab (a+b+c)=0`
`-> (a+b+c)(a^2 +2ab +b^2 - ac-bc +c^2 - 3ab)=0`
`-> (a+b+c) (a^2 + b^2 +c^2 - ab - ac - bc)=0`
`-> 1/2 (a+b+c) [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]=0`
TH1 :
`->a+b+c=0` (1)
TH2 :
`-> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2=0`
Vì `(a-b)^2 ≥0, (b-c)^2 ≥ 0, (c-a)^2 ≥0` với mọi `a,b,c`
`-> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥0∀a,b,c`
Dấu "`=`" xảy ra khi :
`↔ (a-b)^2=0, (b-c)^2=0, (c-a)^2=0`
`↔a-b=0, b-c=0, c-a=0`
`↔ a=b, b=c, c=a`
`↔ a=b=c` (2)
Từ (1), (2)
`-> a=b=c` hoặc `a+b+c=0`
$\\$
Bài `5.`
`A = 4b^2 c^2 - (b^2 +c^2 - a^2)^2`
`->A = (2bc)^2 - (b^2 +c^2 - a^2)^2`
`->A = (2bc - b^2 -c^2 +a^2) (2bc + b^2 +c^2-a^2)`
`->A = (-b^2 + 2bc - c^2 +a^2) (b^2 + 2bc + c^2 - a^2)`
`->A = - (b^2 - 2bc +c^2 - a^2) [(b+c)^2 - a^2]`
`->A = - [(b-c)^2 - a^2] (b+c-a)(b+c+a)`
`->A = - (b-c-a) (b-c+a) (b+c-a)(b+c+a)`
`->A = (-b +c+a) (b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)`
`->A= (a-b+c) (a+b-c) (-a +b+c) (a+b+c)`
`->A = [- (a+b-c)] (a+b-c) [- (a-b-c)] (a+b+c)`
Theo BĐT tam giác :
`a+b > c`
`->a+b - c > 0`
`-> - (a+b-c) < 0` (1)
`a+b >c`
`->a+b-c > 0` (2)
(1) . (2) `< 0` (*)
`a-b < c`
`->a-b -c < 0`
`-> - (a-b-c) > 0` (3)
`a-b > c`
`b-c > a`
`c-a > b`
`->a-b +b-c +c-a > a+b+c`
`-> a+b+c < 0` (4)
(3) . (4) `< 0` (**)
(*) . (**) `> 0`
`->A > 0`
`->A` dương với mọi `a,b,c`
$\\$
Bài `6.`
`a^3 + b^3 +c^3=3abc`
`-> a^3 + b^3 +c^3-3abc=0`
`-> (a+b)^3 +c^3 - 3ab (a+b)-3abc=0`
`-> (a+b+c)[(a+b)^2- (a+b)c+c^2]- 3ab (a+b+c)=0`
`-> (a+b+c)(a^2 +2ab +b^2 - ac-bc +c^2 - 3ab)=0`
`-> (a+b+c) (a^2 + b^2 +c^2 - ab - ac - bc)=0`
`-> 1/2 (a+b+c) [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]=0`
Do đó : `(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 =0`
Vì `(a-b)^2 ≥0, (b-c)^2 ≥ 0, (c-a)^2 ≥0` với mọi `a,b,c`
`-> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥0∀a,b,c`
Dấu "`=`" xảy ra khi :
`↔ (a-b)^2=0, (b-c)^2=0, (c-a)^2=0`
`↔a-b=0, b-c=0, c-a=0`
`↔ a=b, b=c, c=a`
`↔ a=b=c`
`-> Δ` có độ dài 3 cạnh là `a,b,c` thỏa mãn `a^3 + b^3+c^3=3abc` là `Δ` đều (Vì `a+b+c > 0`)
