Đáp án + giải thích các bước giải:
VMO2004, trong đề gốc có cả tìm GTNN. Bài làm có tham khảo.
Vì đây là bất đẳng thức thuần nhất nên ta chuẩn hóa `a+b+c=1->abc=1/32`. Bài toán quay về tìm GTLN của `a^4+b^4+c^4`
`a^4+b^4+c^4`
`=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)`
`=(a^2+b^2+c^2)^2-2(ab+bc+ca)^2+4abc(a+b+c)`
`=(a^2+b^2+c^2)^2-2(ab+bc+ca)^2+1/8`
Ta sẽ đánh giá `a^2+b^2+c^2` để từ đó đánh giá được `ab+bc+ca`
Đặt `(a;b;c;)=(x/4;y/4;z/2)` với `xyz=1` và `x+y+2z=4`
Vì `x+y+2z=4->x+y=4-2z;xyz=1->xy=1/z` nên theo bất đẳng thức Cô-si thì:
`(4-2z)^2>=4/z`
`->z<=1`
Xét `a^2+b^2+c^2`
`=(x^2+y^2+4z^2)/16`
`=((x+y)^2-2xy+4z^2)/16`
`=((4-2z)^2-2/z+4z^2)/16`
`=(8z^2-16z-2/z+16)/16`
Xét hiệu: `4z^2-8z-1/z - (-5)`
`=((2z-1)^2(z-1))/z<=0`
`->4z^2-8z-1/z<=-5`
`->(8z^2-16z-2/z+16)/16<=3/8`
`->a^2+b^2+c^2<=3/8`
`->(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)<=3/8`
`->ab+bc+ca>=5/16`
`->(a^2+b^2+c^2)^2-2(ab+bc+ca)^2+1/8<=(3/8)^2-2. (5/16)^2+1/8=9/128`
`->a^4+b^4+c^4<=9/128`
Dấu bằng xảy ra khi `(a;b;c)=(1/2;1/4;1/4)` và các hoán vị
