Đáp án:

Bài 1 :

$x = 7$

Bài 2 :

$a.$ \(\left[ \begin{array}{l}x>4\\x<-1\end{array} \right.\) 

$c. - 2 ≤ x ≤ \frac{8}{3}$

$d. x =$ {$1 , \frac{9}{5}$}

Bài 3 :

$a. S = \frac{5^{202}-1}{24}$

$b. 2^{30} + 3^{30} + 4^{30} > 3.24^{10}$

Giải thích các bước giải:

Bài 1 : 

$( x - 7 )^{x+1} + ( x - 7 )^{x+11} = 0$

⇔ $( x - 7 )^{x+1}[ 1 + ( x - 7 )^{10} ] = 0$

Vì $( x - 7 )^{10} ≥ 0$ với $∀ x$

⇒ $( x - 7 )^{10} + 1 > 0$

⇒ $( x - 7 )^{x+1} = 0$

⇔ $x - 7 = 0$

⇔ $x = 7$

Bài 2 :

$a. | 2x - 3 | > 5$

TH1 : $2x - 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ \frac{3}{2}$

Ta có : $2x - 3 > 5$

⇔ $2x > 5 + 3$

⇔ $2x > 8$

⇔ $x > 4$

Kết hợp điều kiện ⇒ $x > 4$

TH2 : $2x - 3 < 0 ⇔ x < \frac{3}{2}$

Ta có : $- 2x + 3 > 5$

⇔ $2x < 3 - 5$

⇔ $2x < - 2$

⇔ $x < -1$

Kết hợp điều kiện ⇒ $x < - 1$

Kết hợp 2TH ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x>4\\x<-1\end{array} \right.\) 

$c. | 3x - 1 | ≤ 7$

TH1 : $3x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ \frac{1}{3}$

Ta có : $3x - 1 ≤ 7$

⇔ $3x ≤ 8$

⇔ $x ≤ \frac{8}{3}$

Kết hợp điều kiện ⇒ $\frac{1}{3} ≤ x ≤ \frac{8}{3}$

TH2 : $3x - 1 < 0 ⇔ x < \frac{1}{3}$

Ta có : $- 3x + 1 ≤ 7$

⇔ $3x ≥ 1 - 7$

⇔ $3x ≥ - 6$

⇔ $x ≥ - 2$

Kết hợp điều kiện ⇒ $- 2 ≤ x < \frac{1}{3}$

Kết hợp 2TH ⇒ $- 2 ≤ x ≤ \frac{8}{3}$

$d. | 3x - 5 | + | 2x + 3 | = 7$

TH1 : $3x - 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ \frac{5}{3} ⇒ 2x + 3 > 0$

Ta có : $3x - 5 + 2x + 3 = 7$

⇔ $5x - 2 = 7$

⇔ $5x = 9$

⇔ $x = \frac{9}{5}$ (TM)

TH2 : $3x - 5 < 0 , 2x + 3 ≥ 0 ⇔ \frac{-3}{2} ≤ x < \frac{5}{3}$

Ta có : $- 3x + 5 + 2x + 3 = 7$

⇔ $- x + 8 = 7$

⇔ $x = 1$ (TM)

TH3 : $2x + 3 < 0 ⇔ x < \frac{-3}{2} ⇒ 3x - 5 < 0$

Ta có : $- 3x + 5 - 2x - 3 = 7$

⇔ $- 5x + 2 = 7$

⇔ $5x = - 5$

⇔ $x = - 1$ ( loại )

Kết hợp các trường hợp ⇒ $x =$ {$1 , \frac{9}{5}$}

Bài 3 :

$a. S = 1 + 5^{2} + 5^{4} + ... + 5^{200}$

⇒ $5^{2}.S = 5^{2} + 5^{4} + 5^{6} + ... + 5^{202}$

⇒ $5^{2}.S - S = ( 5^{2} + 5^{4} + ... + 5^{202} ) - ( 1 + 5^{2} + 5^{4} + ... + 5^{200} )$

⇔ $25S - S = ( 5^{2} - 5^{2} ) + ( 5^{4} - 5^{4} ) + ... + ( 5^{200} - 5^{200} ) + ( 5^{202} - 1 )$

⇔ $24S = 0 + 0 + ... + 0 + ( 5^{202} - 1 )$

⇔ $24S = 5^{202} - 1$

⇔ $S = \frac{5^{202}-1}{24}$

$b. 3.24^{10} = 3.( 2^{3}.3 )^{10}$

$3.24^{10} = 3.2^{30}.3^{10}$

$3.24^{10} = 2^{30}.3^{11}$

Nhận xét : $3 < 4 ; 11 < 15$

⇒ $3^{11} < 4^{15}$

⇔ $3^{11} < (2^{2})^{15}$

⇔ $3^{11} < 2^{30}$

⇔ $3^{11}.2^{30} < 2^{30}.2^{30}$

⇔ $3^{11}.2^{30} < (2.2)^{30}$

⇔ $3^{11}.2^{30} < 4^{30}$

hay $3.24^{10} < 4^{30}$

Mà $2^{30} + 3^{30} + 4^{30} > 4^{30}$

⇒ $2^{30} + 3^{30} + 4^{30} > 4^{30} > 3.24^{10}$

hay $2^{30} + 3^{30} + 4^{30} > 3.24^{10}$