Bài `1` :
`a)`
Ta có:
Tam giác `ABC` cân tại `A`
Suy ra:
`AB = AC`, góc `B` = góc `C` (T/c tam giác cân)
Xét tam giác `AED` và tam giác `AFD`
Có góc `AED` = góc `AFD = 90^o`
Có góc `BAD` = góc `CAD` (gt)
`-> AD` chung.
Suy ra:
Tam giác `AED` = tam giác `AFD` (c-h.g-n)
Suy ra:
`DE = DF`
Suy ra:
`D` thuộc đường trung trục của `EF` `(1)`
Mà:
`AB = AC` vậy `A` thuộc đường $TT$ của `EF` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra `AD` là đường trung trực của `EF`
`b)`
Xét tam giác `ABD` và tam giác `ACD`
`-> AD` chung.
Góc `BAD` = góc `CAD` (gt)
`AB = AC` (gt)
Suy ra:
Tam giác `ABD` = tam giác `ACD` (c.g.c)
Suy ra:
`BD = DC` (hai cạnh tương ứng)
Xét tam giác `EDB` và tam giác `GDC`
Ta có:
`BD = DC` (cmt)
Góc `EDB` = góc `CDG` (đối đỉnh)
`ED = DG` (gt)
Suy ra:
Tam giác `EDB` = tam giác `GDC` (c.g.c)
Suy ra:
Góc `DEB` = góc `CGD`
Mà:
Góc `DEB = 90^o`
Suy ra:
Góc `CGD = 90^o`
Suy ra:
Tam giác `EGC` vuông tại `G`
Bài `2` :
`a)`
`ABCD` là hình chữ nhật
`→ AB = CD, AD = BC` (t/c HCN)
Mà:
`E` là trung điểm của `AB, F` là trung điểm của `DC , AB = 2AD` (gt)
`→ AE = BE = AD = DF = FC = BC`
Xét tứ giác `AEFD` có AE // DF (vì AB // CD)
`AE = DF` (cmt)
`→ AEFD` là hình bình hành
Lại có góc `A = 90^o → AEFD` là hình chữ nhật
Xét hình chữ nhật AEFD có:
`AD = AE` (cmt)
`→ AEFD` là hình vuông
`→` Hai đường chéo `AF = DE` , cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ,vuông góc với nhau và là phân giác của góc `E`.
Mà:
`DE` giao `AF` tại `M`
`→ EM = FM`
`→` Góc `AED` = góc `DEF = 45^o` `(1)`
`→` Góc `EMF = 90^o`
Tương tự, chứng minh:
`EBCF` là hình vuông.
`→` Góc `ENF = 90^o` `(2)`
`→` Góc `NEF = 45^o`
Từ `(1)` và `(2)`
`→` Góc `NEM = 90^o`
Tứ giác EMFN có:
`NEM = ENF = EMF = 90^o`
`→` Tứ giác `EMFN` là hình chữ nhật
Mà:
`EM = FM`
`→` Tứ giác `EMFN` là hình vuông
