$\underline{\text{A - TÍNH BC, AC, BM}}$
+ Xét `ΔABC` vuông tại `A` (gt), đường cao `AM` (gt) có:
$+ \cos(ABC) = \dfrac{AB}{BC} \text{ (TSLG)}\\ ⇔ \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{BC} \\⇔ BC = \dfrac{5.6}{3} = 10 (cm) $
`+ AB^2 + AC^2 = BC^2` $\\$ `⇔ 6^2 + AC^2 = 10^2` $\\$ `⇔ AC^2 = 100 - 36` $\\$ `⇔ AC^2 = 64` $\\$ `⇔ AC = 8 (cm) (vì AC > 0)`
`+ AB^2 \text{= BM. BC (HTL trong tgv)}` $\\$ `⇔ 6^2 = BM . 10` $\\$ `⇒ BM = 36/10 = 3,6 (cm)`
$\\$
$\underline{\text{B - CM: AD.AB = AE.AC}}$
+ Xét `ΔABM` vuông tại `M`, đường cao `MD` (gt), ta có:
`AM^2 = AD.AB ^{(1)}` (HTL trong tgv)
+ Xét `ΔACM` vuông tại `M`, đường cao `ME` (gt), ta có:
`AM^2 = AE. AC ^{(2)}` (HTL trong tgv)
`Từ ^{(1)}, ^{(2)} => AD . AB = AE . AC `
$\\$
$\underline{\text{C - CM: $\dfrac{1}{AK^2} = \dfrac{1}{AD^2} + \dfrac{1}{AE^2}$}}$
+ Xét tứ giác `ADME` có:
$\left.\begin{matrix} \text{$\widehat{DAE} = 90^o$}\\\text{$\widehat{AEM} = 90^o$}\\ \text{$\widehat{ADM} = 90^o$} \end{matrix}\right\}\text{⇒ ADME là hình chữ nhật (DHNB)}$
+ Có: `ADME` là hình chữ nhật (cmt)
$⇒\begin{cases} \text{DE là p/giác $\widehat{ADM}$ (t/c) ⇒ $\widehat{ADE} = \dfrac{1}{2}\widehat{ADM}$}\\\text{MA là p/giác $\widehat{DME}$ (t/c) ⇒ $\widehat{AME}$ = $\dfrac{1}{2}$$\widehat{DME}$}\\ \end{cases}$
mà $\widehat{ADM}$ = $\widehat{DME}$ = $90^o$
$⇒\widehat{ADE} = \widehat{AME}$
+ Có: $\widehat{AME} + \widehat{EMC} = \widehat{AMC} = 90^o $
$\widehat{EMC} + \widehat{ECM} = 90^o (\triangle EMC$ vuông tại E)
⇒ $\widehat{AME} = \widehat{ECM}$
mà $\widehat{AME} = \widehat{ADE}$ (cmt)
⇒ $\widehat{ECM} = \widehat{ADE} $
+ Xét `ΔABC` vuông tại `A` (gt) có:
`AH` là đường trung tuyến (`H` là trung điểm `BC` - gt)
`=> AH = 1/2 BC` (t/c đường trung tuyến trong tgv)
mà `BH = 1/2BC` (`H` là trung điểm `BC`)
`=> AH = BH (= 1/2BC )`
$⇒ \triangle ABH$ vuông tại `H` (đ/n)
`=> \hat{ABH} = \hat{BAH}` (t/c)
+ Có: $\widehat{ADK} = \widehat{ACB}$ (hay $\widehat{ADE} = \widehat{ECM}$ - cmt)
$\widehat{DAK} = \widehat{ABC}$ (hay $\widehat{BAH} = \widehat{ABH}$ - cmt)
$⇒ \widehat{ADK} + \widehat{DAK} = \widehat{ACB} + \widehat{ABC} = 90^o$
`=> ΔADK` vuông tại `K`
`=> \hat{AKD} = 90^o`
`⇒ AK ⊥ DK` tại `K`
hay `AH ⊥ DE` tại `K`
+ Xét `ΔADE` vuông tại `A`, đường cao `AK` (gt) có:
$\dfrac{1}{AK^2} = \dfrac{1}{AD^2} + \dfrac{1}{AE^2}$ (HTL trong tam giác vuông) (đpcm)
