Đáp án:
Bài 1: $B=2009$
Bài 2: $A=3$
Bài 3: $\begin{cases}x=20\\y=11\\z=2012\end{cases}$
Bài 4: $N=\left| \left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right) \right|$ là số hữu tỉ
Giải thích các bước giải:
Bài 1:
$B=\sqrt{1+{{2008}^{2}}+\dfrac{{{2008}^{2}}}{{{2009}^{2}}}}+\dfrac{2008}{2009}$
$B=\sqrt{1+2.2008+{{2008}^{2}}-2.2008+\dfrac{{{2008}^{2}}}{{{2009}^{2}}}}+\dfrac{2008}{2009}$
$B=\sqrt{{{\left( 1+2008 \right)}^{2}}-2.2008+\dfrac{{{2008}^{2}}}{{{2009}^{2}}}}+\dfrac{2008}{2009}$
$B=\sqrt{{{2009}^{2}}-2.2009.\dfrac{2008}{2009}+\dfrac{{{2008}^{2}}}{{{2009}^{2}}}}+\dfrac{2008}{2009}$
$B=\sqrt{{{\left( 2009-\dfrac{2008}{2009} \right)}^{2}}}+\dfrac{2008}{2009}$
$B=\left| 2009-\dfrac{2008}{2009} \right|+\dfrac{2008}{2009}$
$B=2009$
.....................................
Bài 2:
$A=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}$
$A=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}}}}}$
$A=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\left( 2+\sqrt{3} \right)}}}$
$A=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{28-10\sqrt{3}}}}$
$A=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+\sqrt{700-250\sqrt{3}}}}$
$A=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+\sqrt{{{\left( 25-5\sqrt{3} \right)}^{2}}}}}$
$A=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+\left( 25-5\sqrt{3} \right)}}$
$A=\sqrt{4+\sqrt{25}}$
$A=\sqrt{4+5}$
$A=3$
.....................................
Bài 3:
$\dfrac{1}{2}\left( x+y+z+457 \right)=4\sqrt{x-4}+3\sqrt{y-2}+35\sqrt{z-787}$
$\Leftrightarrow x+y+z+457=8\sqrt{x-4}+6\sqrt{y-2}+70\sqrt{z-787}$
$\Leftrightarrow \left( x-4-8\sqrt{x-4}+16 \right)+\left( y-2-6\sqrt{y-2}+9 \right)+\left( z-787-70\sqrt{z-787}+1225 \right)=0$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x-4}-4 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{y-2}-3 \right)}^{2}}+\left( \sqrt{z-787}-35 \right)^2=0$
$\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{x-4}=4\\\sqrt{y-2}=3\\\sqrt{z-787}=35\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=20\\y=11\\z=2012\end{cases}$
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Bài 4:
$a+b+c=0\Leftrightarrow\begin{cases}a+b+2c=c\\ab+b^2+bc=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}b+2c=c-a\\ab=-b^2-bc\end{cases}$
Xét: $ab+2{{c}^{2}}$
$=-{{b}^{2}}-bc+2{{c}^{2}}$
$=\left( b+2c \right)\left( c-b \right)$
$=\left( c-a \right)\left( c-b \right)$
Tương tự: $\begin{cases}bc+2a^2=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\\ca+2b^2=\left(b-c\right)\left(b-a\right)\end{cases}$
$N=\sqrt{\left( ab+2{{c}^{2}} \right)\left( bc+2{{a}^{2}} \right)\left( -ca-2{{b}^{2}} \right)}$
$N=\sqrt{-\left( ab+2{{c}^{2}} \right)\left( bc+2{{a}^{2}} \right)\left( ca+2{{b}^{2}} \right)}$
$N=\sqrt{-\left( c-a \right)\left( c-b \right)\left( a-b \right)\left( a-c \right)\left( b-c \right)\left( b-a \right)}$
$N=\sqrt{{{\left( a-b \right)}^{2}}{{\left( b-c \right)}^{2}}{{\left( c-a \right)}^{2}}}$
$N=\left| \left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right) \right|$ là số hữu tỉ do $a,b,c$ là các số hữu tỉ
