`c)`
Gọi $I$ là giao điểm $AK$ và $E F$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HE\perp AB$
`=>AH^2=AE.AB`
Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ có $HF\perp AC$
`=>AH^2=AF.AC`
`=>AE.AB=A F.AC`
`=>{AE}/{AC}={AF}/{AB}`
$\\$
Xét $∆AEF$ và $∆ACB$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad {AE}/{AC}={AF}/{AB}`
`=>∆AEF∽∆ACB` (c-g-c)
`=>\hat{AEF}=\hat{ACB}`
`=>\hat{AEI}=\hat{ACK}`
$\\$
Vì `AK` là trung tuyến $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>AK=CK=1/ 2 BC`
`=>∆KAC` cân tại $K$
`=>\hat{KAC}=\hat{ACK}`
`=>\hat{IAF}=\hat{AEI}` (vì `\hat{AEI}=\hat{ACK}`)
Ta có:
`\qquad \hat{EAI}+\hat{IAF}=\hat{EAF}=90°`
`=>\hat{EAI}+\hat{AEI}=90°`
$\\$
Xét $∆AEI$ có:
`\qquad \hat{AIE}=180°-(\hat{EAI}+\hat{AEI})=180°-90°=90°`
`=>AK`$\perp E F$ tại $I$ (đpcm)
