b) Kẻ đoạn EI, IK, FK, EF
Có: Tam giác ABC cân tại A (gt) nên:
⇒ Góc ABC = Góc ACB (Tính chất tam giác cân) hay góc EBC = Góc FCB
Xét tam giác EBC và tam giác FCB, có:
Góc BFC = Góc CEB = 90 độ (cma)
Góc EBC = Góc FCB (cmt)
Cạnh BC chung
⇒ Tam giác EBC = Tam giác FCB (Canh huyền-Góc nhọn)
⇒ EB = FC (Cặp cạnh tương ưng)
Xét tam giác EBH vuông tại E, có:
Góc EBH + Góc EHB = 90 độ (Tính chất tam giác vuông) (1)
Xét tam giác FBC vuông tại F, có:
Góc FHC + Góc FCH = 90 độ (Tinh chất tam giác vuông) (2)
Mà Góc EHB = Góc FHC (2 góc đối đỉnh) (3)
Từ (1)(2)(3) ⇒ Góc EBH = Góc FCH
Xét tam giác EHB và tam giác FHC, có:
Góc EBH = Góc FCH (cmt)
EB = FC (cmt)
Góc BEH = Góc HFC = 90 độ (cma)
⇒ Tam giác EHB = Tam giác FHC (g.c.g)
⇒ EH = HF (2 cạnh tương ứng)
Mà EH = HI (gt)
FH = HK (gt)
⇒ EH = HI = HF = HK
Xét tam giác EIK, có:
HI = $\frac{1}{2}$EK (HI = EH = HK)
⇒ Tam giác EIK vuông tại I
⇒ Điểm I, E, K thuộc đường tròn đường kính EK (3)
Xét tam giác FEK, có:
FH = $\frac{1}{2}$EK (FH = EH = HK)
⇒ Tam giác FEK vuông tại F
⇒ Điểm F, E, K thuộc đường tròn đường kính EK (4)
Từ (3)(4) ⇒ 4 điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn (đpcm)