a)
$OM//AC//BD$, $O$ trung điểm $AB$
$\Rightarrow OM$ là đường trung bình hình thang $ACDB$
$\Rightarrow AC+BD=2OM=2R=const$
b)
$\widehat{CAM}=\widehat{OMA}$ (so le trong)
$\widehat{OAM}=\widehat{OMA}$ ($\Delta OAM$ cân tại $O$)
$\Rightarrow \widehat{CAM}=\widehat{OAM}$
$\Rightarrow AM$ là tia phân giác $\widehat{OAC}$
c)
Kẻ $MH\bot AB$
$\Rightarrow \Delta MCA=\Delta MHA\left( ch-gn \right)$
$\Rightarrow MC=MH=MD$
$\Rightarrow \Delta HCD$ vuông tại $H$
$\Rightarrow H\in $ đường tròn đường kính $CD$
$\Rightarrow $ Đường tròn đường kính $CD$ tiếp xúc $AB$ tại $H$
d)
Có $CD=2MH\le 2MO=2R$
Dấu “=” xảy ra khi $H\equiv O$
Hay $M$ là điểm chính giữa cung $AB$