\(x,y\in N\)
Giả sử \(x\) là số lẻ
\(5≡2\pmod{3}\\\to 5^x≡2\pmod{3}\\\to y^4+4y+1≡2\pmod{3}\\\to y^4+4y≡1\pmod{3}\)
Một số chính phương khi chia \(3\) chỉ có thể dư \(0\) hoặc \(1\)
\(\to y^4≡0\pmod{3}, y^4≡1\pmod{3}\)
Xét \(y^4≡0\pmod{3}\)
\(\to 4y≡1\pmod{3}\\4≡1\pmod{3}\\\to y≡1\pmod{3}\\\to y^4≡1\pmod{3}\)
(Vô lí)
Xét \(y^4≡1\pmod{3}\)
\(\to 4y≡0\pmod{3}\\4≡1\pmod{3}\\\to y≡0\pmod{3}\\\to y^4≡0\pmod{3}\)
(Vô lí)
Do đó giả sử \(x\) là số lẻ là sai
Vì thế chỉ tồn tại duy nhất \(x\) là số chẵn
Ta thấy: \(y^4+4y+1>y^4\)
Mặt khác:
\(4y<4y^2\to 4y+4<4y^2+4\to 4y+1<4y+4<4y^2+4\to 4y+1<4y^2+4\\\to y^4+4y+1<(y^2+2)^2\\\to y^4<y^4+4y+1<(y^2+2)^2\)
Mà \(y\in N\to y^4+4y+1=(y^2+1)^2\)
\(\to y^4+4y+1=y^4+2y^2+1\\\to 2y^2-4y=0\\\to 2y(y-2)=0\\\to y=0,y=2\)
Với \(y=0\to 5^x=1\to 5^x=5^0\to x=0\) (Tm)
Với \(y=2\to 5^x=5^2\to x=2\) (Tm)
Thử lại ta thấy cặp \((x;y)=(2;2), (0;0)\) thỏa mãn.
