Đáp án:
GTNN $A = 4$ khi $x = 3$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ : $x ≥ 3$
$A = \sqrt[]{x-2+2\sqrt[]{x-3}} + \sqrt[]{x+6+6\sqrt[]{x-3}}$
Đặt $\sqrt[]{x-3} = a$ $( a ≥ 0 )$
⇔ $a^{2} = x - 3$
⇔ $a^{2} + 1 = x - 2 , a^{2} + 9 = x + 6$
Ta có :
$A = \sqrt[]{a^{2}+1+2a} + \sqrt[]{a^{2}+9+6a}$
$⇔ A = \sqrt[]{(a+1)^{2}} + \sqrt[]{(a+3)^{3}}$
$⇔ A = | a + 1 | + | a + 3 |$
$⇔ A = a + 1 + a + 3$
( vì $a ≥ 0 ⇒ a + 1 > 0 , a + 3 > 0 ⇒ | a + 1 | = a + 1 , | a + 3 | = a + 3$ )
$⇔ A = 2a + 4$
Vì $a ≥ 0$
⇒ $2a ≥ 0$
⇒ $2a + 4 ≥ 4$
⇔ $A ≥ 4$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $a = 0$
⇔ $x - 3 = 0$
⇔ $x = 3$
