Cho hình chóp đều \(S.ABC\), đường cao \(SH\). Khoảng cách từ \(H\) đến \(SC\) bằng \(2cm\). Góc tạo bởi hai mặt kề nhau bằng \(60^0\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\)?A.\(\dfrac{{27\sqrt 6 }}{2}\)B.\(\dfrac{{27\sqrt 3 }}{2}\)C.\(\dfrac{{27\sqrt 2 }}{2}\)D.\(\dfrac{{27\sqrt 6 }

treuthaiha

2 năm trước

Cho hình chóp đều \(S.ABC\), đường cao \(SH\). Khoảng cách từ \(H\) đến \(SC\) bằng \(2cm\). Góc tạo bởi hai mặt kề nhau bằng \(60^0\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\)?
A.\(\dfrac{{27\sqrt 6 }}{2}\)
B.\(\dfrac{{27\sqrt 3 }}{2}\)
C.\(\dfrac{{27\sqrt 2 }}{2}\)
D.\(\dfrac{{27\sqrt 6 }}{4}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 21 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

treuthaiha

Đáp án đúng: A
Cách giải nhanh bài tập này
\(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow H\) là trọng tâm tam giác đều ABC
Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot CH \Rightarrow \Delta SCH\)vuông tại H \( \Rightarrow \widehat {SCH} < {90^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;HC} \right)} = \widehat {SCH} = {60^0}\)
Gọi I là trung điểm của AB
Trong (SIC) kẻ \(HK \bot SC\) ta có \(HK = 2\left( {cm} \right)\). Kẻ \(IE//HK\left( {E \in SC} \right)\)
Vì HK // IE \( \Rightarrow \dfrac{{HK}}{{IE}} = \dfrac{{HC}}{{IC}} = \dfrac{2}{3}\)\( \Rightarrow IE = \dfrac{3}{2}HK = 3\left( {cm} \right)\)
Vì \(IE//HK \Rightarrow IE \bot SC\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AB \bot CI\\AB \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow AB \bot \left( {SIC} \right) \Rightarrow AB \bot SC\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot \left( {ABE} \right)\)\( \Rightarrow SC \bot AE;SC \bot BE\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SC\\\left( {SAC} \right) \supset AE \bot SC\\\left( {SBC} \right) \supset BE \bot SC\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AE;BE} \right)}\)
Giả sử\(\widehat {\left( {AE;BE} \right)} = \widehat {AEB} = {60^0}\):
Dễ chứng minh được \(\Delta ACE = \Delta BCE\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow AE = BE\)\( \Rightarrow \Delta EAB\) cân tại E
Mà \(\widehat {AEB} = {60^0} \Rightarrow \Delta EAB\) đều\( \Rightarrow BE = AB = BC\)
Mà \(SC \bot \left( {ABE} \right)\)\( \Rightarrow SC \bot BE \Rightarrow BE < BC\) (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)
\( \Rightarrow \widehat {AEB} = {120^0}\)
Suy ra trung tuyến IE đồng thời là đường phân giác \( \Rightarrow \widehat {AEI} = \widehat {BEI} = \dfrac{1}{2}\widehat {AEB} = {60^0}\)
\( \Rightarrow AI = IE.\tan 60 = 3.\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)\( \Rightarrow AB = 2AI = 6\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)
Tam giác ABC đều \( \Rightarrow IC = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{6\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = 9\left( {cm} \right)\)
\( \Rightarrow HC = \dfrac{2}{3}IC = \dfrac{2}{3}.9 = 6\left( {cm} \right)\)
Xét tam giác vuông SHC có: \(SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {S{H^2} + 36} \)
\({S_{SIC}} = \dfrac{1}{2}SH.IC = \dfrac{1}{2}IE.SC\)\( \Rightarrow SH.9 = 3.\sqrt {S{H^2} + 36} \)
\( \Rightarrow 9S{H^2} = S{H^2} + 36\)\( \Rightarrow S{H^2} = \dfrac{9}{2} \Rightarrow SH = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
\({S_{ABC}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 27\sqrt 3 \,\left( {c{m^2}} \right)\)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}}\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}.27\sqrt 3 = \dfrac{{27\sqrt 6 }}{2}\left( {c{m^3}} \right)\)
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với đáy một góc \(\alpha \). Thể tích của hình chóp đó là:
A.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}{b^3}{\rm{cos}}\alpha \sin \alpha \)
B.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{b^3}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha \sin \alpha \)
C.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}{b^3}{\sin ^2}\alpha {\rm{cos}}\alpha \)
D.\(\dfrac{3}{4}{b^3}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha \sin \alpha \)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên \(SA = SB = SC\). Góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt đáy bằng \({60^0}\). Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA bằng \(\dfrac{{a\sqrt {30} }}{5}\), khi đó thể tích khối chóp S.ABC bằng:
A.
B.
C.
D.

Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Đỉnh A’ cách đều các đỉnh A, B, C. Các cạnh bên tạo với đáy góc \({60^0}\). Thể tích khối chóp \(ACB'C'\) là:
A.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
B.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
C.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
D.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân; \(CD = 2AB = 2BC = 2a\, ;\,SA = SB = SC = SD\). Biết góc giữa các cạnh bên và đáy bằng \({60^0}\). Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A.\(\dfrac{{3{a^3}}}{4}\)
B.\(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\)
C.\(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)
D.\({a^3}\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang cân, \(CD = 2AB = 2BC = 2a,\)\(SA = SB = SC = SD\). Biết góc giữa các cạnh bên và đáy bằng \({60^0}\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là:
A.\(\dfrac{{3{a^3}}}{4}\)
B.\(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\)
C.\(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)
D.\({a^3}\)

Thể tích khối bát diện đều cạnh \(a\) bằng:
A.\({a^3}\sqrt 2 \)
B.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
C.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
D.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

Cho hình chóp đều S.ABC có \(SA = 6a;AB = 3a\). Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho \(MS = \dfrac{1}{2}MC\). Thể tích khối chóp M.ABC là:
A.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{2}\)
B.\({a^3}\sqrt {11} \)
C.\(\dfrac{{3{a^3}\sqrt {11} }}{2}\)
D.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{3}\)

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là \(16c{m^2}\), diện tích một mặt bên là \(8\sqrt 3 c{m^2}\). Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A.\(\dfrac{{32\sqrt 2 }}{3}c{m^3}\)
B.\(\dfrac{{32\sqrt {13} }}{3}c{m^3}\)
C.\(\dfrac{{32\sqrt {11} }}{3}c{m^3}\)
D.\(4c{m^3}\)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc giữa SG và mặt phẳng (SBC) là \({30^0}\). Thể tích khối chóp S.ABC là:
A.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
B.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
C.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
D.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc \({60^0}\). Thể tích khối chóp S.ABC là:
A.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
B.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)
C.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
D.\(\dfrac{{{a^3}}}{{24}}\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến