Đáp án:
\(A.\ M = \dfrac{14}{9}\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\text{Phương trình hoành độ giao điểm:}\\
\quad -x^4 + 2(m+2)x^2 - 2m - 3 = 0\qquad (*)\\
\text{Đặt}\ t = x^2,\quad t \geqslant 0\\
\text{Phương trình trở thành:}\\
\quad -t^2 + 2(m+2)t - 2m - 3 =0\qquad (**)\\
\text{$(*)$ có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi}\\
\text{$(**)$ có 2 nghiệm dương phân biệt $t_2 > t_1 >0$}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_{(**)}' >0\\S >0\\P >0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}(m+2)^2 - (2m + 3) >0\\2(m+2) >0\\2m + 3 >0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}m\ne - 1\\m > -\dfrac32\end{cases}\\
\text{Khi đó $(**)$ có 4 nghiệm phân biệt lần lượt là}\\
-\sqrt{t_2};\ -\sqrt{t_1};\ \sqrt{t_1};\ \sqrt{t_2}\\
\text{4 nghiệm lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi}\\
\begin{cases}-\sqrt{t_2} + \sqrt{t_1} = -2\sqrt{t_1}\\-\sqrt{t_1} + \sqrt{t_2} = 2\sqrt{t_1}\end{cases}\\
\Leftrightarrow \sqrt{t_2} = 3\sqrt{t_1}\\
\Leftrightarrow t_2 = 9t_1\\
\text{Áp dụng định lý Viète ta được:}\\
\quad \begin{cases}t_1 + t_2 = 2(m+2)\\
t_1t_2 = 2m + 3\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}t_1 + 9t_1 = 2(m+2)\\
9t_1^2 = 2m+ 3\end{cases}\\
\Leftrightarrow 9\cdot \left(\dfrac{m+2}{5}\right)^2 = 2m + 3\\
\Leftrightarrow 9m^2 - 14m - 39 = 0\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 3\\m = -\dfrac{13}{9}\end{array}\right.\quad \text{(nhận)}\\
\text{Do đó:}\ S = \left\{-\dfrac{13}{9};3\right\}\\
\Rightarrow M = - \dfrac{13}{9} + 3 = \dfrac{14}{9}
\end{array}\)
