Đáp án:
`a)` ` TXĐ: D=(-∞;1]`
`b)` Hàm số nghịch biến trên `(-∞;1]`
`c)` `f_{max}(x)=f(1/4)=\sqrt{3}/2+1`
`\qquad f_{min}(x)=f(1/2)=\sqrt{2}/2+1`
Giải thích các bước giải:
`y=f(x)=\sqrt{2-x+2\sqrt{1-x}}`
`a)` $ĐKXĐ: \begin{cases}1-x\ge 0\\2-x+2\sqrt{1-x}\ge 0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}x\le 1\\1-x+2\sqrt{1-x}.1+1^2\ge 0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}x\le 1\\(\sqrt{1-x}+1)^2\ge 0\ (đúng\ ∀x\le 1)\end{cases}$
`=>x\le 1`
`=>TXĐ: D=(-∞;1]`
$\\$
`b)` `y=f(x)=\sqrt{(\sqrt{1-x}+1)^2}=\sqrt{1-x}+1`
`∀x_1;x_2\in D;x_1\ne x_2`
`T={f(x_2)-f(x_1)}/{x_2-x_1}`
`={\sqrt{1-x_2}+1-(\sqrt{1-x_1}+1)}/{x_2-x_1}`
`={\sqrt{1-x_2}-\sqrt{1-x_1}}/{x_2-x_1}`
`={(\sqrt{1-x_2}-\sqrt{1-x_1})(\sqrt{1-x_2}+\sqrt{1-x_1})}/{(x_2-x_1)(\sqrt{1-x_2}+\sqrt{1-x_1})}`
`={1-x_2-(1-x_1)}/{(x_2-x_1)(\sqrt{1-x_2}+\sqrt{1-x_1})}`
`={-(x_2-x_1)}/{(x_2-x_1)(\sqrt{1-x_2}+\sqrt{1-x_1})}`
`={-1}/{\sqrt{1-x_2}+\sqrt{1-x_1}}<0` với mọi `x_1;x_2\in (-∞;1];x_1\ne x_2`
`=>` Hàm số đã cho nghịch biến trên `(-∞;1]`
$\\$
`c)` Vì hàm số đã cho nghịch biến trên `(-∞;1]` (câu b)
Mà `[1/4;1/2]⊂(-∞;1]`
`=>` Hàm số nghịch biến trên `[1/4;1/2]`
`=>∀x\in [1/4;1/2]` ta có:
`\qquad 1/4\le x\le 1/2`
`=>f(1/4)\ge x\ge f(1/2)`
`\qquad f(x)=\sqrt{1-x}+1`
`=>f_{max} (x)=f(1/4)=\sqrt{1-1/4}+1=\sqrt{3}/2+1`
$\\$
`\qquad f_{min} (x)=f(1/2)=\sqrt{1-1/2}+1=\sqrt{2}/2+1`
Vậy trên đoạn `[1/4;1/2]`
+) $GTLN$ của hàm số bằng `\sqrt{3}/2+1` tại `x=1/4`
+) $GTNN$ của hàm số bằng `\sqrt{2}/2+1` tại `x=1/2`
