Đáp án + Giải thích các bước giải:
Gọi $M$ là giao điểm của $AC ∩ BD$
⇒ $M$ là trung điểm $AC , BD$
Áp dụng pitago trong ΔABC vuông tại B
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$
⇔ $AC^{2} = 4^{2} + 3^{2}$
⇔ $AC^{2} = 25$
⇒ $AC = 5 = BD$
Vì $AM$ là đường trung tuyến ΔABD
⇒ $2\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AD}$
Vì $AI$ là đường trung tuyến ΔABC
⇒ $2\vec{AI} = \vec{AB} + \vec{AC}$
$a. | \vec{AD} + \vec{AB} |$
$= | 2\vec{AM} |$
$= 2AM$
$= AC$
$= 5$
$b. | \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} |$
$= | ( \vec{AB} + \vec{AD} ) + \vec{AC} |$
$= | 2\vec{AM} + \vec{AC} |$
$= | \vec{AC} + \vec{AC} |$
$= 2AC$
$= 10$
$c. AI^{2} = AB^{2} + BI^{2}$ ( áp dụng pitago trong ΔABI vuông tại B )
⇔ $AI^{2} = 4^{2} + (\frac{BC}{2})^{2}$
⇔ $AI^{2} = 4^{2} + \frac{3^{2}}{4}$
⇔ $AI^{2} = \frac{73}{4}$
⇒ $AI = \frac{\sqrt[]{73}}{2}$
Ta có :
$| \vec{AB} + \vec{AC} |$
$= | 2\vec{AI} |$
$= 2AI$
$= \sqrt[]{73}$
$d. | \vec{AC} + \vec{AI} |$
$= | \vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} |$
$= | \frac{3}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{AB} |$
Ta có :
$| 3\vec{AC} + \vec{AB} |^{2} = 9AC^{2} + 6\vec{AC}.\vec{AB} + AB^{2}$
⇔ $| 3\vec{AC} + \vec{AB} |^{2} = 9.25 + 6.AC.AB.\cos\widehat{BAC} + 4^{2}$
⇔ $| 3\vec{AC} + \vec{AB} |^{2} = 225 + 6.AC.AB.\frac{AB}{AC} + 16$
⇔ $| 3\vec{AC} + \vec{AB} |^{2} = 225 + 6.4.4 + 16$
⇔ $| 3\vec{AC} + \vec{AB} |^{2} = 337$
⇒ $| 3\vec{AC} + \vec{AB} | = \sqrt[]{337}$
⇒ $| \vec{AC} + \vec{AI} | = \frac{\sqrt[]{337}}{2}$
