Đáp án và giải thích các bước giải:
Có : `a^3+b^3+6ab≤8`
`⇔` `a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2+6ab≤8`
`⇔` `(a+b)^3-3ab(a+b)+6ab≤8`
`⇔` `(a+b)^3-8≤3ab(a+b-2)`
`⇔` `(a+b-2)[(a+b)^2-2(a+b)+4]≤3ab(a+b-2)`
Nếu `a+b-2>0`
`⇒` `(a+b)^2-2(a+b)+4≤3ab`
`⇔` `(a-2)^2+(b-2)^2+(a+b)^2≤0`
Mà `(a-2)^2+(b-2)^2+(a+b)^≥0∀a,b∈`$\mathbb{R}$
`→` Vô lý
Nếu `a+b-2≤0`
`⇒` `-[(a+b)^2-2(a+b)+4]≤-3ab`
`⇒` `(a+b)^2-2(a+b)+4≤3ab`
`⇔` `(a-2)^2+(b-2)^2+(a+b)^2≤0`
Mà `(a-2)^2+(b-2)^2+(a+b)^≥0∀a,b∈`$\mathbb{R}$
`→` Thoả mãn
Ta có : `P=2a+2/a+3b+3/b-a-b`
`P=(2a+2/a)+(3b+3/b)-(a+b)`
Nhận xét :
`2a+2/a≥2\sqrt[2a.{2}/a]=4` `(cosi)`
`3b+3/b≥2\sqrt[3b.{3}/b]=6` `(cosi)`
`a+b-2≤0⇒a+b≤2⇒-(a+b)≥-2`
`⇒` `(2a+2/a)+(3b+3/b)-(a+b)≥8`
`⇔` `P≥8`
`⇒` `P_{min}=8⇔a=b=1`
