Đáp án:
chứng minh
Giải thích các bước giải:
$a^{3} + b^{3} = 2( c^{3} - 8d^{3} )$
⇔ $a^{3} + b^{3} = 2c^{3} - 16d^{3}$
⇔ $a^{3} + b^{3} - 2c^{3} + 16d^{3} = 0$
⇔ $( a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} ) - 3c^{3} + 15d^{3} = 0$
⇔ $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3c^{3} - 15d^{3}$
Nhận xét : $3c^{3} - 15d^{3}$ chia hết cho $3$
Để tồn tại $a , b , c , d ∈ Z$ thỏa mãn đề bài thì :
$a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3}$ chia hết cho $3$
Ta có :
$a^{3} + b^{3}$
$= ( a^{3} + a^{2}b ) + ( ab^{3} + b^{3} ) - ( a^{2}b + ab^{2} )$
$= a^{2}( a + b ) + b^{2}( a + b ) - ab( a + b )$
$= ( a + b )( a^{2} - ab + b^{2} )$
$= ( a + b )[ ( a^{2} + ab ) + ( ab + b^{2} ) - 3ab ]$
$= ( a + b )[ a( a + b ) + b( a + b ) - 3ab ]$
$= ( a + b )[ ( a + b )^{2} - 3ab ]$
$= ( a + b )^{3} - 3ab( a + b )$
Tương tự :
+) $c^{3} + d^{3} = ( c + d )^{3} - 3cd( c + d )$
+) $( a + b )^{3} + ( c + d )^{3} = ( a + b + c + d )^{3} - 3( a + b )( c + d )( a + b + c + d )$
Lại có :
$a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = ( a + b )^{3} - 3ab( a + b ) + ( c + d )^{3} - 3cd( c + d )$
⇔ $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = [ ( a + b )^{3} + ( c + d )^{3} ] - 3ab( a + b ) - 3cd( c + d )$
⇔ $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = ( a + b + c + d )^{3} - 3( a + b )( c + d )( a + b + c + d ) - 3ab( a + b ) - 3cd( c + d )$
Nhận xét :
$- 3( a + b )( c + d )( a + b + c + d ) - 3ab( a + b ) - 3cd( c + d )$ chia hết cho $3$
Mà $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3}$ chia hết cho $3$
⇒ $( a + b + c + d )^{3}$ chia hết cho $3$
⇒ $a + b + c + d$ chia hết cho $3$
