Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Bất đẳng thức bên trái :
$ - (a - b)^{2} =< 0 <=> 2ab =< a^{2} + b^{2} (1)$
$ - (b - c)^{2} =< 0 <=> 2bc =< b^{2} + c^{2} (2)$
$ - (c - a)^{2} =< 0 <=> 2ca =< c^{2} + a^{2} (3)$
$ (1) + (2) + (3) $ và giản ước cho 2 là có:
$ ab + bc + ca =< a^{2} + b^{2} + c^{2}(*)$
Dấu $'=' <=> a = b = c <=>$ tam giác đều
Bất đẳng thức bên phải : Ứng dụng tính chất trong
tam giác hiệu độ dài 2 cạnh bất kỳ thì bé hơn độ dài cạnh kia
Ta có $: b - a < c => - c < a - b < c$
$ <=> |a - b| < c <=> a^{2} + b^{2} - 2ab < c^{2}$
$ <=> a^{2} + b^{2} - c^{2} < 2ab (4)$
Tương tự:
$ b^{2} + c^{2} -a^{2} < 2bc (5)$
$ c^{2} +a^{2} - b^{2} < 2ca (6)$
$ (4) + (5) + (6) :$
$ a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2(ab + bc + ca) (**)$
Từ $(*); (**) => đpcm$
