a)
Gọi $O$ là trung điểm $BD$
$\Delta ABD$ vuông tại $A$ với $AO$ trung tuyến
$\Rightarrow AO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}AC$
$\Delta CBD$ vuông tại $C$ với $CO$ trung tuyến
$\Rightarrow CO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}AC$
$\Rightarrow\begin{cases}AO=CO=\dfrac{1}{2}AC\\AO+CO=AC\end{cases}\Rightarrow O$ là trung điểm $AC$
$\Rightarrow ABCD$ là hbh
Lại có góc $A=90{}^\circ $ nên là hcn
b)
$MHDF$ là hcn $\Rightarrow I$ là trung điểm $HF$
$MKBE$ là hcn $\Rightarrow J$ là trung điểm $KE$
$AKMH$ là hcn $\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{K}_{1}}}$
$MFCE$ là hcn $\Rightarrow \widehat{{{F}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}$
$ABCD$ là hcn $\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}$
$\Rightarrow \widehat{{{K}_{1}}}=\widehat{{{F}_{1}}}\Rightarrow HK//EF$
$\Rightarrow HKEF$ là hình thang
$\Rightarrow IJ$ là đtb hình thang $HKEF$
$\Rightarrow HK+EF=2IJ$
