Đáp án + Giải thích các bước giải:
Xét hiệu `n^5` - n ta có :
`n^5` - n
= n( `n^4` - 1)
= n ( `n^2` - 1)( `n^2` + 1)
= n ( `n^2` - 1)( `n^2` -4+5 )
= n ( `n^2` - 1)( `n^2` -4)+ n( `n^2` - 1).5
= n ( n - 1)(n+1)( n-2)(n+2) + n5.(n-1)(n+1)
= ( n - 2)(n-1)n( n+1)(n+2) + 5.(n-1)n(n+1)
Ta có ( n - 2)(n-1)n( n+1)(n+2) là 5 số tự nhiên liên tiếp (n∈N)
⇒ $\exists$ một thừa số chia hết cho 5 , một thừa số chia hết cho 2(∀n∈N)
Mà (2;5)=1
⇒ ( n - 2)(n-1)n( n+1)(n+2) $\vdots$ 5.2(∀n∈N)
⇔ ( n - 2)(n-1)n( n+1)(n+2) $\vdots$ 10 (∀n∈N) (1)
Lại có: (n-1)n(n+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp
⇒ $\exists$ một thừa số chia hết cho 2 (∀n∈N)
⇒ (n-1)n(n+1) $\vdots$ 2(∀n∈N)
⇒ 5(n-1)n(n+1) $\vdots$ 10 (∀n∈N) (2)
(1)(2) ⇒ ( n - 2)(n-1)n( n+1)(n+2)+ 5(n-1)n(n+1) $\vdots$ 10 (∀n∈N)
hay `n^5` - n $\vdots$ 10 (∀n∈N)
⇒ `n^5` - n có chữ số tận cùng là 0 (∀n∈N)
⇒ `n^5` và n có chữ số tận cùng giống nhau .(∀n∈N)
