Đáp án:
`x=8` , `y=8`
Giải thích các bước giải:
Có : `2(x\sqrt[y-4]+y\sqrt[x-4])=xy` `(1)`
Đặt `a=\sqrt[x-4]` , `b=\sqrt[y-4]` `(a,b≥0)`
`(1)⇔2[(a^2+4)b+(b^2+4)a]=(a^2+4)(b^2+4)`
`⇔` `{2[(a^2+4)b+(b^2+4)a]}/{(a^2+4)(b^2+4)}=1`
`⇔` `{2[(a^2+4)b]}/{(a^2+4)(b^2+4)}+{2[(b^2+4)a]}/{(a^2+4)(b^2+4)}=1`
`⇔` `{2b}/{b^2+4}+{2a}/{a^2+4}=1`
Nhận xét :
`a=0` hoặc `b=0` không thoả mãn phương trình `(1)`
`⇒` `a,b>0`
Áp dụng BĐT AM-GM ta được :
`b^2+4≥2\sqrt[4b^2]=4b`
`a^2+4≥2\sqrt[4a^2]=4a`
`⇒` `{2b}/{b^2+4}≤{2b}/{4b}=2`
`⇒` `{2a}/{a^2+4}≤{2a}/{4a}=2`
`⇒` `{2b}/{b^2+4}+{2a}/{a^2+4}≤{2b}/{4b}+{2a}/{4a}=1`
Dấu `=` xảy ra
`⇔` $\begin{cases} a^2=4\\b^2=4 \end{cases}$
`⇔` $\begin{cases} a=2\\b=2 \end{cases}$
`⇔` $\begin{cases} x=8\\y=8 \end{cases}$
Vậy phương trình có nghiệm là `x=8` , `y=8`
