Đáp án+Giải thích các bước giải:
a) CM: CA là tia phân giác góc BCN
Xét Δ BAC và Δ NAC có:
AB=AN(gt)
∠A=$90^o$
AC chung
=> Δ BAC = Δ NAC ( c.g.c)
=> ∠BCA= ∠NCA( 2 góc t/ư)
=> AC là pg góc C
b) CM: Δ BCP =Δ NCP
Xét Δ BCP và Δ NCP có:
AC chung
∠BCA=∠ACN( AC là đường phân giác)
BC=CN( Δ BCN cân tại C)
=> Δ BCP=Δ NCP( c.g.c)
c) CM: AK ⊥ BP
Ta có: AC=2AB
=> AP=PC=AB=AN
=> AB=AP => Δ ABP cân. Mà ∠ A=$90^o$
=> Δ ABP vg cân => ∠ABP=∠ APB=$45^o$. (1)
AN=AP => Δ ANP cân. Mà ∠ A=$90^o$
=> Δ ANP vg cân => ∠ ANP=∠ APN=$45^o$. (2)
Từ (1) và (2) => ∠ BPA + ∠ APN =$45^o+45^o=90^o$
=> BP⊥ NP
Mà NP// AK( Ax//NP; K ∈ Ax)
=> AK⊥ BP (dccm)
d)
Xét tg ANPM có: AN//PM( Py//AB)
AM//PN( Ax//NP)
=> ANPM là hbh. Mà E là trung điểm của AP(gt)
=> E trung điểm MN( hai đường chéo HBH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
=> E,M,N thẳng hàng