Đáp án:
\(\begin{array}{l}
28)\quad \lim\limits_{x\to \infty}(\sin(\ln(x+1)) - \sin(\ln x))=0\\
29)\quad \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\sqrt{x +\sqrt{x +\sqrt x}}}{\sqrt{x+1}}= 1\\
30)\quad \lim\limits_{x\to\infty}x^{\tfrac32}\left(\sqrt{x^3 + 1} - \sqrt{x^3 - 1}\right)= 1
\end{array}\)
Giải thích các bước giải:
Bài 28:
$\quad \lim\limits_{x\to \infty}(\sin(\ln(x+1)) - \sin(\ln x))$
Ta có:
$-1 \leqslant \sin(\ln(x+1)) \leqslant 1$
$-1 \leqslant \sin(\ln x)\leqslant 1$
$\Rightarrow 0 \leqslant \sin(\ln(x+1)) -\sin(\ln x) \leqslant 0$
$\Rightarrow 0 \leqslant \lim\limits_{x\to \infty}(\sin(\ln(x+1)) -\sin(\ln x))\leqslant 0$
Theo định lý kẹp, ta được:
$\lim\limits_{x\to \infty}(\sin(\ln(x+1)) -\sin(\ln x))= 0$
Bài 29:
$\quad \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\sqrt{x +\sqrt{x +\sqrt x}}}{\sqrt{x+1}}$
$=\lim\limits_{x\to \infty}\sqrt{\dfrac{x + \sqrt{x+\sqrt x}}{x+1}}$
$=\sqrt{\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x +\sqrt{x+\sqrt x}}{x+1}}$
$=\sqrt{\lim\limits_{x\to \infty}\left(\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{\sqrt{x +\sqrt x}}{x+1}\right)}$
$=\sqrt{\lim\limits_{x\to \infty}\left(\dfrac{1}{1+\dfrac1x} +\dfrac{\sqrt{\dfrac1x + \dfrac{1}{x\sqrt x}}}{1 +\dfrac1x}\right)}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{1+0} + \dfrac{\sqrt{0 +0}}{1 +0}}$
$= 1$
Bài 30:
\(\begin{array}{l}
\quad \lim\limits_{x\to\infty}x^{\tfrac32}\left(\sqrt{x^3 + 1} - \sqrt{x^3 - 1}\right)\\
= \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2\sqrt{x^3}}{\sqrt{x^3 + 1} + \sqrt{x^3 - 1}}\\
= \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^3}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x^3}}}\\
= \dfrac{2}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0}}\\
= 1
\end{array}\)
