Đáp án: $x=3$
Giải thích các bước giải:
$\dfrac{\sqrt{2x-4}-\sqrt{x-1}+6}{x}={{x}^{2}}-5x+8$ (ĐK: $x\ge 2$)
$\Leftrightarrow \sqrt{2x-4}-\sqrt{x-1}+6={{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+8x$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x-4}-\sqrt{x-1}={{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+8x-6$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left( 2x-4 \right)-\left( x-1 \right)}{\sqrt{2x-4}+\sqrt{x-1}}=\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{\sqrt{2x-4}+\sqrt{x-1}}=\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)$
$\Leftrightarrow x=3$ hoặc $\dfrac{1}{\sqrt{2x-4}+\sqrt{x-1}}={{x}^{2}}-2x+2$
Giải: $\dfrac{1}{\sqrt{2x-4}+\sqrt{x-1}}={{x}^{2}}-2x+2$
Xét $VT$: Do $x\ge 2$
Nên $\sqrt{2x-4}+\sqrt{x-1}\ge \sqrt{2.2-4}+\sqrt{2-1}$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x-4}+\sqrt{x-1}\ge 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2x-4}+\sqrt{x-1}}\le 1$
$\Leftrightarrow VT\le 1$
Xét $VP$:
${{x}^{2}}-2x+2={{\left( x-1 \right)}^{2}}+1\ge 1$
Dấu “=” xảy ra khi $x=1$ (loại, vì $x\ge 2$)
Vậy không có dấu “=” xảy ra
$\Leftrightarrow VP>1$
Vì $\begin{cases}VT\le 1\\VP>1\end{cases}$ nên phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=3$
