Mặt phẳng nào dưới đây cắt mặt cầu \(\left( S \right)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 4z - 3 = 0\) theo thiết diện là một đường tròn? A.\(x + 2y + 2z + 6 = 0\) B.\(x - y + z = 0\) C.Cả 3 đều sai D.\(x + 2y + 3z + 3 = 0\)
Đáp án đúng: B Giải chi tiết:Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;1;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + 1 + 4 + 3} = 3\). Đáp án A : \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 + 2.1 + 2.2 + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{13}}{3} > 3\) nên mặt phẳng không cắt mặt cầu. Đáp án B : \(d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{2}{3} < 3\) nên mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn. Đáp án D : \(d\left( {I,\left( R \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 + 2.1 + 3.2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{12}}{3} = 4 > 3\) nên mặt phẳng không cắt mặt cầu. Chọn B.